Indische wiskunde in de middeleeuwen: deel 2

De belangrijkste bijdragen:

  • De Surya Siddantha: uit de 4de eeuw n.C.. Het handelt over sterrenkunde en bevat onder andere sinustafels.
  • Arybhatta: 500 n.C. Auteur van het werk Arybhatiyam met een rekenkundig-algebraïsch-astronomische inhoud, waarin ( zoals bij Diophantus) oplossingen werden gezocht van bepaalde vergelijkingen. Voor pi kent hij de nauwkeurige waarde 3,1416.
  • Brahmagupta : 525 n.C. Hij gaat in dezelfde lijn verder en vindt een algemene gehele oplossing voor a x + b y = c. Bij hem vinden we ook het begrip negatief getal als wortel van een vergelijking, enkele rekenregels voor het getal 0 en de vierkantsworteltrekking.
  • Bhaskara : 1150 n.C.. Is vooral gekend door zijn Siddhanta Siromani, een werk dat eeuwenlang in Indië als standaardwerk over rekenkunde en meetkunde werd gebruikt. Als belangrijkste originele onderwerpen vermelden we: rekenwerk met elk soort getallen( geheel,gebroken, positieve en negatieve, nul, irrationale), algemene oplossing van de lineaire en kwadratische vergelijking, oplossing van allerlei Diophatische vergelijkingen. 

Indische wiskunde in de middeleeuwen: deel 1

Hoewel reeds in vroegere tijden sporen van wiskundige activiteit in India werden teruggevonden, ontwikkelt de wiskunde zie pas echt na de veldtochten van Alexander de Grote, waardoor de Indische wiskunde in contact komt met de Babylonische en Griekse beschavingen. De Indische bijdragen onderscheiden zich van de Griekse als volgt:

  • de utilitaire doeleinden primeren met als gevolg een behandeling van vrijwel uitsluitend reken-algebraïsche problemen. Grote belangstelling voor praktisch rekenwerk. De meetkunde blijft onderontwikkeld.
  • geen behoefte aan uitbouw van een logisch deductief systeem met definities, bewijzen,… Alleen praktische regels worden aangeleerd.

De knapste prestatie van de Indische wiskundigen ligt dan ook op het gebied van het rekenwerk: zij enten de principes van de Babylonische ( zestigdelig) positieschrijfwijze op hun tientallig stelsel en maken zo het tientallig positiestelsel, dat wij nog steeds gebruiken. Onze cijfertekens vinden hun oorsprong in de Indische symbolen.

De nieuwe schrijfwijze wordt rond 500 n. C in gebruik genomen, waarna ze zich geleidelijk langs de handelswegen en via de islam over West-Azië , Noord-Afrika en Spanje verspreidt, om tenslotte in de 12de eeuw West-Europa te bereiken. Toch duurt het nog tot de 16de eeuw vooraleer de Indisch-Arabische cijfers het halen op hun Romeinse tegenhangers. De Bruggeling Simon Stevin(1548-1620) speelde hierbij een belangrijke rol.

6. Wiskunde in het oude Indie

 

De eerste belangrijke beschaving in het Indus gebied was de Harappa-beschaving rond 2000 voor Christus

Het Vedische volk kwam India rond 1500 voor Christus binnen vanuit wat nu  Iran is.  In deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in verschillende sociale klassen. de leiding berustte bij de priesterklasse, de Brahmanen. Hun heilige teksten staan bekend staan ​​als de Veda’s. De teksten dateren van ongeveer de 15e tot de 5e eeuw voor Christus en werden gebruikt voor offerrituelen die het belangrijkste kenmerk van de religie waren. De belangrijkste van deze documenten zijn de Baudhayana Sulbasutra geschreven rond 800 voor Christus en de Apastamba Sulbasutra geschreven rond 600 voor Christus. Minder gekend zijn de Manava Sulbasutra geschreven rond 750 voor Christus en de Katyayana Sulbasutra geschreven rond 200 voor Christus.

De Sulbasutra’s zijn bijlagen bij de Veda’s die regels geven voor het bouwen van altaren. Als het rituele offer succesvol zou zijn, moest het altaar zich  zeer precieze afmetingen hebben. Om de goden tevreden te stellen, moest alles met een zeer precieze formule worden uitgevoerd, dus werd wiskundige nauwkeurigheid van het grootste belang geacht. 

Alles wat bekend is van Vedische wiskunde is vervat in de Sulbasutras. Sommige historici beweren dat de wiskunde, meer speciaal de meetkunde, ook moet hebben bestaan ​​als ondersteuning van de astronomie.

Een paar voorbeelden van hun meetkundige kennis:

  • Een vierkant dat de som is van twee andere vierkanten
  • De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant van dubbele oppervlakte.
  • Een vierkant dat gelijk is aan een cirkel (komt overeen met een waarde voor pi van ongeveer 3,00444)
  • De som van de oppervlakten van vierkanten van de lengte en breedte van een rechthoek geeft het vierkant van de diagonaal van de rechthoek.
  • Vermeerder de eenheid met een derde en dit derde met zijn vierde en verminder dat met het 34ste deel van dat vierde. zo bekom je een benadering voor de vierkantswortel van 2: 1,414215

De Sulbasutra’s bevatten geen enkel bewijs van de regels die ze beschrijven. Sommige regels, zoals de methode om een ​​vierkant te construeren dat gelijk is aan een bepaalde rechthoek, zijn exact. Anderen, zoals het construeren van een vierkant gelijk aan dat van een bepaalde cirkel, zijn benaderingen. 

 

 

Madhava of Sangamagrama

Madhava ( c.1340 – c. 1425) was een Indische wiskundige en astronoom die een formule vond voor \frac{\pi}{4}.

Toch spreekt niemand hierover. Historici kennen de formule immers niet toe aan hem, maar aan de Schot James Gregory, die ze pas in 1667 officieel zou ‘ontdekken’. Madhava had ook gelijkaardige formules voor de sinus en de cosinus. Hij was de eerste die  reeksen gebruikte om goniometrische functies te benaderen. Deze formules zijn tot bij ons beland via de jezuïten.