Tag archieven: geschiedenis van de wiskunde

Indische wiskunde in de middeleeuwen: deel 2

Geplaatst op door

De belangrijkste bijdragen:

  • De Surya Siddantha: uit de 4de eeuw n.C.. Het handelt over sterrenkunde en bevat onder andere sinustafels.
  • Arybhatta: 500 n.C. Auteur van het werk Arybhatiyam met een rekenkundig-algebraïsch-astronomische inhoud, waarin ( zoals bij Diophantus) oplossingen werden gezocht van bepaalde vergelijkingen. Voor pi kent hij de nauwkeurige waarde 3,1416.
  • Brahmagupta : 525 n.C. Hij gaat in dezelfde lijn verder en vindt een algemene gehele oplossing voor a x + b y = c. Bij hem vinden we ook het begrip negatief getal als wortel van een vergelijking, enkele rekenregels voor het getal 0 en de vierkantsworteltrekking.
  • Bhaskara : 1150 n.C.. Is vooral gekend door zijn Siddhanta Siromani, een werk dat eeuwenlang in Indië als standaardwerk over rekenkunde en meetkunde werd gebruikt. Als belangrijkste originele onderwerpen vermelden we: rekenwerk met elk soort getallen( geheel,gebroken, positieve en negatieve, nul, irrationale), algemene oplossing van de lineaire en kwadratische vergelijking, oplossing van allerlei Diophatische vergelijkingen. 

Griekse wiskunde deel 7

Geplaatst op door

Archimedes leefde in Syracuse van 287 tot. 212 v.C. en verbleef aan het hof van koning Hieron. Bij zijn tijdgenoten verwierf hij grote vermaardheid, niet zozeer voor zijn zuiver wetenschappelijk werk, maar vooral door zijn talrijke technische realisaties van ingenieuze werktuigen en machines( pompen, kranen , katapulten,..).

Als zuiver platonische wiskundige is hij zelf minder gelukkig met zijn materialistische nevenactiviteiten. Tijdens een reis naar Egypte maakt hij kennis met Euclides en vanaf dan onderhoudt hij een vrij drukke wetenschappelijke briefwisseling met andere wiskundigen zoals bvb. Erastosthenes. Meestal deelt hij enkel resultaten mee, daarmee zijn collega’s uitdagend om er zelf een bewijs voor te vinden.

Van zijn uitgebreid oeuvre bleven enkel volgende werken bewaard: Over het evenwicht van vlakke figuren en hun zwaartepunt,  de kwadratuur van de parabool, de methode, over de bol en de cilinder, over de conoïden en de sferoïden. over de spiralen, over de drijvende lichamen, de cirkelmeting en de zandrekenaar.

De methode: dit werk werd pas in 1906 bij toeval teruggevonden door de Deense filoloog Heiberg op een palimpsest uit een kloosterbibliotheek. In dit werk leert Archimedes ons dat de strenge deductieve methode , waarvan Aristoteles de formele regels vastlegde en die Euclides in zijn Elementen zo perfect illustreerde, een procédé is dat haast alleen nuttig is om bewijzen van gekende resultaten te leveren.Voor het creatief onderzoekingswerk geeft hij de voorkeur aan zogenaamde mechanische methodes die, omdat ze op fysische inzichten berusten, minder streng maar zoveel vruchtbaarder zijn. Nadat hij langs deze heuristische weg resultaten ontdekt heeft, geeft hij een streng bewijs waarbij hij dikwijls gebruik maakt van Eudoxos’ exhaustiemethode.

Griekse wiskunde deel 6

Geplaatst op door

Over de mens Euclides is weinig bekend, We weten dat hij rond 300 v.C. wiskunde doceerde in het museion van Alexandrië. Gevormd in de scholen van Plato en Aristoteles, is hij dus één van de Griekse intellectuelen die naar Alexandrië toestroomden om er beroepsgeleerde te worden. 

Uit de analyse van zijn werken is vrij duidelijk te zien dat Euclides geen groot wiskundige was, maar wel een buitengewone didacticus. Zo ligt het geniale van zijn Elementen niet zozeer in de inhoud, want die is afkomstig van zijn grote voorgangers Archytas, Theatetus en Eudoxos. Maar het bijzondere is de gepaste keuze van de volgorde, waar de verschillende onderdelen worden behandeld. Een vrij omvangrijk eerste deel is ook toegankelijk voor middelmatige leerlingen, de moeilijke delen komen pas later aan de beurt.

De elementen staat zeker op de lijst van de boeken die het grootst aantal uitgaven en vertalingen hebben gekend. Deze bestseller omvat 13 boeken, waaraan door latere wiskundigen nog 2 boeken zijn toegevoegd. ( o.a. een boek over regelmatige veelvlakken). De boeken 1 tot 4 handelen over de meetkunde van de rechte, de driehoek en de cirkel. Boeken 5 en 6 zijn gewijd aan de leer van de evenredigheden en de gelijkvormige figuren. In boeken 7,8 en 9 gaat het over de natuurlijke getallen. Boek 10 bestudeert de irrationale getallen. Tenslotte gaat het in de boeken 11,12 en 13 over de meetkunde van de ruimte en de 5 regelmatige veelvlakken.

Griekse wiskunde: deel 4

Geplaatst op door

De  4de eeuw voor  Christus: bloeiperiode van de wiskunde. De tijd van Plato en Aristoteles.

We beperken ons tot een overzichtelijke samenvatting van de wiskundige werken, waaruit de krachtlijnen van de onderzoeken zouden moeten blijken. De meeste bijdragen halen een hoog wetenschappelijk niveau en de bewijzen zijn niet alleen wiskundig streng maar getuigen ook van een grote denkkracht en een rijke creativiteit. In het filosofisch stelsel van Plato wordt de wiskunde verheven tot de kunst van het exact redeneren over louter abstracte begrippen, die dus los dienen te staan van elke zintuigelijke waarneming.

  • de  irrationale getallen: Theaetetus (414-370 v.C.), vriend van Plato en Socrates,  stelt in een samenspel tussen meetkunde en getallenleer een classificatie op van 13 irrationaliteiten en bewees ook dat de verzameling irrationale getallen oneindig is.
  • de bekende wiskundige van deze tijd was Eudoxos van Cnidus (405-315 v.C.) .  Hij werkte vooral rond de gulden snede, de doorsnede van krommen en de verdubbeling van een kubus .Hij heeft eveneens ontdekt dat de verhouding van het volume van een piramide ten opzichte van een prisma op hetzelfde grondvlak een op drie is. 
  • De exhaustie methode : het geniale antwoord van Eudoxos op de paradoxen van Zeno. Heeft me, 2 ongelijke grootheden van een zelfde soort, dan kan steeds een natuurlijk getal gevonden worden dat met hun verschil vermenigvuldigd, elke gegeven grootheid van die soort overtreft. Hiermee bewees hij bvb. dat de oppervlakten van twee cirkels zich verhouden als de kwadraten van hun stralen.
  • De 5 regelmatige veelvlakken ( platonische lichamen) , veelvlakken die begrensd zijn door een aantal congruente regelmatige veelhoeken: tetraëder, kubus, dodecaëder, octaëder en de isocaëder. De drie eersten waren reeds bekend aan de Pythagoreeërs. Het was Theaetetus die de laatste twee ontdekte en een nauwkeurige beschrijving gaf van de constructie en de berekening van de ribben in functie van de straal van de omgeschreven bol.
  • Het bestuderen van de 3 grote problemen ( driedeling hoek, verdubbeling kubus en kwadratuur van de cirkel) leidde tot de studie van speciale krommen: de kwadratix ( Hippias van Elis , rond 420 v.C.), de kegelsneden ( Menaechmus rond 350 v.C.)
  • Er ontstond meer en meer de noodzaak om de volledige wiskundige kennis te ordenen tot een samenhangend geheel. Hippochrates van Chios zou de samensteller zijn van de eerste zogenaamde Elementen.  Van hem zijn ook  de maantjes van Hippocrates. 

5. Wiskunde in het oude China

Geplaatst op door

Rond 1500 voor Christus  raakten de eerste cijfers in gebruik. De chinezen hadden karakters voor 1,2,3,… alsmede voor 10,100,1000,… Voor de nul gebruikten ze een spatie. Optellen en aftrekken gebeurde met telstokjes, gemaakt van bamboe. Voor vermenigvuldigen gebruikten ze tabellen  tot 9 maal 9.

Rond 200 voor Christus werden nagenoeg alle bestaande boeken verbrand, zodat we over de wiskunde van voor die tijd geen documenten hadden. Bij opgravingen rond 1900 werden toch wat documenten gevonden die samengesteld werden na de boekverbranding en die kunnen beschouwd worden als compilaties van de wiskundige kennis uit het verleden. De twee belangrijkste zijn :

  • Zhou Bi Suan-Jing ( de wiskundige klassieker van de gnomon en het cirkelvormig hemelpad): het behandelt ruim 250 astronomische en wiskundige problemen onder de vorm van gesprekken tussen een Chinese edelman en zijn astroloog. Het bevat één van de vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras.
  • Jiuzhang Suansu ( de negen afdelingen van mathematische kunst) :hier werden voor het eerst zowel positieve als negatieve getallen gebruikt. Er werd ook veel aandacht besteed aan magische vierkanten. De behandelde problemen zijn van praktische aard en men stelt zich meestal tevreden met het beschrijven van procedures, waarbij deductieve bewijzen ontbreken.