NWO | Wiskunde is leuk

Drie opeenvolgende getallen leveren snel een uitsluiting op voor een exacte vergelijking. Voor de vraag naar deelbaarheid door 1000 is vooral van belang waar de factoren 8 en 125 in hun product kunnen zitten.

Infobox

Onderwerpen: Getaltheorie, deelbaarheid
Probleemoplossingstechnieken: Ontbinden in factoren, rekenen modulo 3, priemfactoren afzonderlijk onderzoeken
Moeilijkheid: Gemiddeld
Competitie: Nederlandse Wiskunde Olympiade, finale, klas 6
Jaar: 2026
Opgavenummer: 1

Opgave

(a) Bewijs dat er geen positief geheel getal $n$ bestaat met $n^3-n=1000$ .

(b) Vind het kleinste positieve gehele getal $n>1$ waarvoor $n^3-n$ deelbaar is door 1000.

Eerste idee

Schrijf $n^3-n$ als het product van drie opeenvolgende getallen. Dat geeft direct de deelbaarheid door 3 voor (a). Voor (b) moet het product zowel de factor 125 als de factor 8 bevatten: eerst begrenst de factor 125 de mogelijke waarden van $n$ , waarna de factor 8 de eerste kandidaat uitsluit.

Uitwerking

We ontbinden

$n^3-n=(n-1)n(n+1).$

(a)

Van drie opeenvolgende gehele getallen is er precies één deelbaar door 3. Daarom is $(n-1)n(n+1)$ voor ieder geheel getal $n$ deelbaar door 3. Het getal 1000 is niet deelbaar door 3. De gelijkheid $n^3-n=1000$ is dus onmogelijk.

(b)

Omdat $1000=8\cdot125$ en 8 en 125 onderling priem zijn, moet $n^3-n$ zowel door 8 als door 125 deelbaar zijn.

Van de drie opeenvolgende getallen $n-1$ , $n$ en $n+1$ kan er hoogstens één deelbaar zijn door 5. Als hun product door $125=5^3$ deelbaar is, moet daarom één van deze drie getallen zelf door 125 deelbaar zijn. Voor $1<n<124$ liggen alle drie de getallen tussen 1 en 124. In dat bereik is geen veelvoud van 125, dus geen van die waarden van $n$ voldoet.

Voor $n=124$ geldt

$n^3-n=123\cdot124\cdot125.$

Hier zijn 123 en 125 oneven en is 124 wel door 4 maar niet door 8 deelbaar. Dit product is dus niet deelbaar door 8.

Voor $n=125$ geldt

$n^3-n=124\cdot125\cdot126.$

De factor 125 is deelbaar door 125. Verder is 124 deelbaar door 4 en 126 door 2, zodat het product deelbaar is door 8. Omdat 8 en 125 onderling priem zijn, is het product deelbaar door 1000. Het kleinste gevraagde getal is dus

$\boxed{n=125}.$

Probleemoplossingstechnieken

Ontbinden in factoren: Schrijf $n^3-n$ als het product van drie opeenvolgende getallen.
Rekenen modulo 3: Gebruik dat een van die getallen deelbaar is door 3.
Priemfactoren afzonderlijk onderzoeken: Behandel de factoren 8 en 125 van 1000 apart.

Bron

De Nederlandse Wiskunde Olympiade is een individuele wedstrijd voor leerlingen van klas 1 t/m 5. Deze leerlingen zijn tussen de 12 en 17 jaar oud. De wedstrijd bestaat uit drie rondes.

In de eerste ronde krijg je twee uur de tijd om de antwoorden te vinden bij een aantal opgaven. Er zijn acht vijfkeuze-opgaven en vier open opgaven met een exact getal als uitkomst. Je hoeft geen bewijs of uitwerking te geven. Als je bij de (ongeveer) 1000 deelnemers met de hoogste resultaten zit, dan krijg je een uitnodiging om aan de tweede ronde mee te doen. Leerlingen uit de onderbouw ( klas 1-3) hebben minder punten nodig om door te gaan naar de tweede ronde dan leerlingen uit de vierde klas, en zij weer minder dan leerlingen uit de vijfde klas.

De tweede ronde wordt gehouden op een aantal Nederlandse universiteiten. De tweede ronde is vanzelfsprekend moeilijker dan de eerste ronde. Er zijn geen meerkeuze-opgaven meer en bij een aantal opgaven moet je niet alleen de uitkomst geven, maar ook je uitwerking. De (ongeveer) 130 beste leerlingen uit het land worden vervolgens uitgenodigd voor de finale en de training voor de finale. Ook hier wordt weer rekening gehouden met de drie categorieën.

De finale duurt drie uur en in die tijd moet je vijf opgaven oplossen. Bij elke opgave moet je een volledige berekening geven of een sluitend bewijs.

De eerste Nederlandse Wiskunde olympiade werd gehouden in 1962. Op de website van de organisatie kan je verdere informatie vinden.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: NWO

Deelbaarheid van $n^3-n$ door 1000