Tag archieven: python

Het vermoeden van Erdös en Straus

Geplaatst op door

Het Erdös-Straus vermoeden werd geformuleerd in 1948 door de Hongaars wiskundige Paul Erdös( 1913-1996) en de Duits-Amerikaanse wiskundigen ernst Straus(1922-1983). Erdös was een van de meest productieve wiskundige die veel bijdroeg aan de getaltheorie. Hij stond vooral bekend om het stellen van eenvoudige maar diepgaande vragen. Straus werkte ook in de getaltheorie en was bovendien medewerker van Alfred Einstein. Samen onderzochten ze eigenschappen van Egyptische breuken en kwamen zo tot volgend probleem:


Voor elke natuurlijke n\geq 2 geldt dat de breuk \frac{4}{n}  kan worden geschreven als een som van drie stambreuken (Egyptische breuken). Het is een van de bekendste onopgeloste problemen in de getaltheorie.

De conjectuur is triviaal waar voor alle even n. Ook werd voor veel typen priemgetallen  een expliciete oplossing geconstrueerd. Het moeilijke geval zit in getallen n waarvoor n \equiv 1 \mod 4.  Wel is het zo dat voor alle getallen tot enorm hoge grenzen (momenteel trilljoenen)  de gelijkheid bevestigd is  door computers. Hieronder een Python programma voor n kleiner dan of gelijk aan 20.

 

Met als output: 

Valbeweging

Geplaatst op door

Schrijf een Python programma dat de beweging bestudeert van een bal die wordt opgegooid met een bepaalde beginsnelheid.

 

De linspace functie genereert 1001 coordinaten tussen 0 en 1. De waarde is een array die wordt gestockeerd in t . Het resultaat van het programma  is: 

Opgave 43

Geplaatst op door

Een rij wordt gedefinieerd als : a_0=0 en a_{k+1}=3a_k+1. Toon aan dat a_{155} deelbaar is door 11.

Antwoord

  • We kunnen de eerste termen van de rij uitrekenen en proberen een regelmaat te vinden voor de termen die deelbaar zijn door 11. Dan kunnen we die regelmaat proberen te bewijzen, misschien wel via inductie.
  • Omdat het principe van deelbaarheid door 11 centraal staat is het misschien nuttiger de rij van de restklassen modulo 11 te berekenen.
  • Deze rij heeft als termen: 0,1,4,2,7,0,…. De rij moet zich wel herhalen na een eindig aantal stappen omdat er maar 11 mogelijke waarden zijn voor de restklassen. En inderdaad na 5 termen verschijn er terug een 0 en dus zal elke 5de term van de gegeven rij deelbaar zijn door 11. Bijgevolg is a_{155} deelbaar door 11.
  • We geven een Pythonprogramma als controle, waarbij we zelfs de 155ste term uitgerekend hebben: