In dit artikel bespreken we problemen waarin men beschikt over 2 lege kannen, zonder maatstreepjes. Verder is er een kraan waarmee men de kannen kan vullen en een gootsteen waarin men de kannen kan leeggieten. We aanvaarden volgende handelingen : Een kan volledig leeggieten, een kan helemaal vullen met de kraan, water van de ene kan overhevelen in de andere kan totdat de ene helemaal leeg is of de andere helemaal vol. Je vindt ook een Python programma om het probleem op te lossen
Tag archieven: diophantische vergelijkingen
Rationale getallen
Is het juist dat, indien
en
rationaal zijn, x eveneens rationaal is?
We weten dat de vermenigvuldiging en de delig door een getal, verschillend van 0, inwendige bewerkingen zijn in . Dus als
en
rationaal zijn, dan is hun quotiënt
dat ook . Maar dan is het quotiënt van
en
, en dat is
, ook een rationaal getal. Als
rationaal is, dan ook
. Tenslotte volgt uit het feit dat
en
allebei rationaal zijn dat hun quotiënt x dat ook is.Het antwoord op de gestelde vraag is dus bevestigend.
We kunnen dit ook anders oplossen: We zoeken eigenlijk twee getallen a en b zodat , waarbij a en b gehele getallen zijn. Maar dan moet
Dit is een Diophantische vergelijking en omdat de grootste gemene deler van 12 en 7 gelijk is aan 1, heeft deze vergelijking oneindig veel oplossingen. De meest eenvoudige is en
. Dit geeft ons in één keer ook de mogelijkheid het probleem te veralgemenen. Als we in de opgave werken met bijvoorbeeld
en
, dan klopt het niet meer: de Diophantische vergelijking
heeft immers geen oplossingen omdat de grootste gemene deler van a en b gelijk is aan 3.
Diophantische vergelijkingen
Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel
de coëficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten zijn.
Het type vergelijkingen is genoemd naar de Griekse wiskundige Diophantus
van Alexandrië. In de loop van de derde eeuw na Christus schreef
Diophantus van Alexandrië de Arithmetica, een verzameling van 130
problemen ( met oplossingen ) uit de algebra en de rekenkunde.
Lees hier meer erover.