Tag archieven: som termen van een rekenkundige rij

Nootje 56

Geplaatst op door

Bepaal alle rijen opeenvolgende natuurlijke getallen n, n+1,n+2, …,n+k waarvan de som van de termen gelijk is aan 1000

Antwoord

  • De som van deze termen is de som van termen van een rekenkundige rij en wordt gegeven door het gemiddelde van de eerste term (n)  en de laatste term (n+k) te vermenigvuldigen met het aantal termen (k+1):
  • Dus S=\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)=1000=2^3.5^3. Bijgevolg moet

        \[(k+1)(2n+k)=2^4.5^3\]

  • We kunnen nu twee gevallen onderzoeken: eerst onderzoeken we de situatie als k even is, dan is k+1 oneven en 2n+k even en dit levert volgende mogelijkheden
    k+1=1 en 2n+k=2000 dus k=0 en n=1000 (triviale oplossing)
    k+1=5 en 2n+k= 400 dus k=4 en n= 198
    k+1=25 en 2n+k=80 dus k=24 en n=28
    k+1=125 en 2n+k= 16 dus k=124 en n=-56 ( geen goede oplossing)
  • Stel dat k oneven is, dan is k+1 even en 2n+k oneven en dan is de enige mogelijkheid k+1=16 en 2n+k=125, dus k=15 en n=55
  • Er zijn dus 4 oplossingen:
    1000
    198,199,200,201,202
    28,29,…,51,52
    55,56,…,69,70

Even huisnummers

Geplaatst op door

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

Veronderstel dat ik in het (k+1) ste huis woon, dan staan er k huizen links van mij, met nummers 2,4,6,…,2k. Dit zijn termen van een rekenkundige rij en dus kunnen we de som berekenen:

    \[S_l=\frac{1}{2}k.(2+2k)=k^2+k\]

Als er n huizen staan in mijn straat, dan bevinden zich rechts van mij nog n-k-1 huizen, met nummer 2k+4,2k+6,…,2n. Ook hier hebben we een rekenkundige rij, dus :

    \[S_r=\dfrac{1}{2}(n-k-1)(2k+4+2n)=(n-k-1)(n+k+2)\]

Nu moet S_l=S_r. Dit geeft na uitwerking:

    \[2k^2+4k-(n^2+n-2)=0\]

Dit is een Diophantische vergelijking. We zoeken naar gehele oplossingen . Bijgevolg moet k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+8(n^2+n-2)}}{4} \in \mathbb{Z}. Hieruit volgt:

    \[k=-1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}(n^2+n)} \in \mathbb{Z}\]

Daarom moet n^2+n =2x^2 met x\in \mathbb{Z}. Dit valt te herschrijven als

    \[(2n+1)^2-8x^2=1\]

Vergelijkingen van de vorm x^2-Ay^2=1 noemt men vergelijking van Pell. Dit type vergelijkingen is moeilijk op te lossen, maar we kunnen wel een aantal oplossingen ‘proberen’, omdat de straten bij ons niet zo lang zijn.  Zo vinden we :

    \[\begin{array}{c|c|c} n&k+1&\text{huisnummer}\\ \hline \\ 1&1&2\\8&6&12\\49&35&70\\288&204&408 \end{array}\]

De eerste  oplossing is een beetje absurd: een straat met maar 1 huis. Bij de tweede oplossing telt de straat 8 huizen langs de even kant en woon ik in huisnummer 16. Links van mij heb je de nummers 2,4,6,8 en 10 met som 30 en rechts van mij de nummers 14 en 16, ook met som 30. De derde oplossing geeft een straat met 49 huizen en ik woon op nummer 70.