Noem de verzameling van alle n x n matrices over het veld F met een determinant die niet nul is. Het is duidelijk dat deze verzameling, uitgerust met de gewone matrixvermenigvuldiging, een groep is, want:
- Omdat det( A.B)=det(A).det(B) zal
gesloten zijn onder de vermenigvuldiging.
- Omdat de determinant verschillend is van nul, heeft elke matrix een inverse.
- De determinant van de eenheidsmatrix ( neutraal element) is verschillend van nul.
Een paar opmerkingen:
is niet-abels voor elke
en voor elk veld F.
is een eindige groep als en slechts als F een eindig veld is. Eindige velden zijn er voor elke waarde van p priem en voor alle priemmachten
.
- Als F een eindig aantal elementen q bezit, dan is het aantal elementen van
gegeven door de formule
- Neem bijvoorbeeld
, dan is de orden van
gelijk aan 6. De enige niet-abelse groep van orde 6 is
, dus is
Een ander ‘leuk’ voorbeeld is de Heisenberg groep H(F), vernoemd naar de Duitse natuurkundige Werner Heisenberg( 1901-1976).
H(F) bevat alle 3 x 3 bovendriehoeksmatrices van de vorm
![Rendered by QuickLaTeX.com GL_3(F)](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30d1261e2669ff1fd73ab2ffcedfa5f9_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com q^3](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2364a2e942f8be2cf07528c3414a2a3_l3.png?media=1678572382)
Bekijken we even de situatie als , dan telt H(F) dus 8 elementen. Er zijn 5 elementen van orde 2, zoals bijvoorbeeld
en 2 elementen van orde 4, zoals bijvoorbeeld
. Bijgevolg is