Wiskunde is leuk

Nootje 69

Geplaatst op 15 februari 2026 door admin

Zoek een getal x zodat x en x+1 allebei zes delers hebben.

Antwoord

Het aantal delers van een getal wordt bepaald door het product van factoren $e_i+1$ waarbij $e_i$ de exponent is van een priemfactor $p_i$ in de ontbinding in factoren.
Omdat $6=6\times 1$ of $6=3\times 2$ , is het gezochte getal x van de vorm $p^5$ of $p^2q$ .
Er zullen waarschijnlijk meerdere oplossingen bestaan, maar wij zoeken naar de kleinste. Neem dan $x=2^2q$ en $x+1=3^2r$ .
Hieruit volgt dat $4q+1=9r$ ; De kleinste waarde ( $q=2$ kan niet want q is een priemfactor verschillend van 2) die hieraan voldoet is $p=11$ en $r=5$ .
Bijgevolg is $x=44$ .
Als je $x+1$ van de vorm $p^5$ neemt vind je ook snel een oplossing: $x+1=3^5=243$ , dan is $x=242=2\times 11^2$ . Dus 242 is ook een oplossing

Nootje 68

Geplaatst op 12 februari 2026 door admin

Bereken zonder rekentoestel:

Antwoord

Er kan nergens ontbonden worden in factoren.
Gebruik makend van de symmetrie, kan je een gepast substitutie uitvoeren.
Stel x = 2025
De opgave wordt dan
$\frac{x^2+1}{(x-1)^2+(x+1)^2}$
De noemer wordt $x^2-2x+1+x^2+2x+1=2(x^2+1)$ .
Bijgevolg is de opgave gelijk aan $\frac{1}{2}$ .

Nootje 67

Geplaatst op 6 februari 2026 door admin

Zoek een natuurlijk getal n zodat 4n+808 en 9n+1621 allebei volkomen kwadraten zijn.

Antwoord

Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat $p^2=4n+808$ en $q^2=9n+1621$ .
Bereken nu $9p^2-4q^2$ . Dit geeft de waarde $788=2^2. 197$ .
Door ontbinding in factoren vinden we dat $(3p-2q)(3p+2q)=2^2.197$ .
Daaruit volgt dat $(3p-q,3p+q)=(1,788)$ of $(2,394)$ of $(4,197)$ .
Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we $p=66$ en $q=98$ .
Dan vinden we dat $n=887$ .

Nootje 66

Geplaatst op 21 november 2025 door admin

Hoeveel drietallen niet-negatieve getallen (x,y,z) voldoen aan

Antwoord

$(x+1)(y+1)(z+1)= xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1$ , dus de opgegeven vergelijking is te herschrijven als $(x+1)(y+1)(z+1)-1=2025$ of
$(x+1)(y+1)(z+1)=2026=2026$
Nu kan je 2026 herschrijven als $1*1*2026$ of $1*2*1013$ .
Met de ontbinding $1*1*2026$ kan je 3 drietallen $(x,y,z)$ vormen.
Met de ontbinding $1*2*1013$ kan je $3!=6$ drietallen vormen.
Er zijn dus 9 drietallen die voldoen aan de gegeven vergelijking.

nootje 65

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.