Ruimtemeetkunde

In het zesde jaar van het MO wordt een cursus gegeven over ruimtemeetkunde. In dit artikel wordt een andere manier van benadering gegeven dan de meeste handboeken. We steunen op de theorie van de vectorruimten. We onderscheiden twee delen:

  1. Definitie van punten, vectoren, rechten en vlakken. We bespreken hun onderlinge ligging en evenwijdigheid en bewijzen een aantal stellingen daarrond. Dit vindt je hier.
  2. Via de definitie van een skalair product kunnen we ook spreken over loodrechte stand, afstanden en hoeken. De bespreking daarvan vindt je hier.

Afstand en skalair product

 

Om het begrip afstand te definiëren hebben we een metriek nodig. Dit kan je hier lezen. Een voorbeeld van een metriek in \mathbb{R}^2 is de Euclidische afstand, gedefinieerd door

    \[  d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Hiermee is een norm gedefinieerd via

    \[\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}\]

en dan is

    \[d(x,y)=\Vert y-x\Vert\]

In \mathbb{R}^2 is er ook een skalair product

    \[x.y=x_1x_2+y_1y_2\]

Dit is een product met volgende eigenschappen:

  1. x.x \geq 0 en x.x=0 \Leftrightarrow x=0.
  2. x.y=y.x
  3. x.(ry+sz)=r x.y +s x.z

Het gegeven skalair product definieert dus de Euclidische metriek, via \Vert x\Vert = \sqrtçx.x} . Maar dat is niet altijd zo. Er zijn metrieken waarmee geen skalair product is geassocieerd. Een voorbeeld is de Manhattan metriek

    \[d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|\]

 Er is geen skalair product dat hiermee correspondeert.

Normen die voldoen aan de parallellogram eigenschap kunnen een skalair product definiëren, andere niet:

    \[\Vert x+y \Vert +\Vert x-y \Vert=2(\Vert x \Vert+ \Vert y\Vert)\]