Kan men een hoek van 1 radiaal construeren met passer en liniaal?

Geplaatst op 6 januari 2024 door admin

In 1873 bewijst Charles Hermite dat het getal e, de basis van de natuurlijke logaritmen, transcendent is. Ferdinand Lindemann toont in 1882 de transcendentie van $\pi$ aan. Het werk van Lindemann is in feite een handige veralgemening van het resultaat van Hermite. Lindemann bewijst: als z een algebraïsch getal is, verschillend van nul, dan is $e^z$ transcendent. Transcendente getallen kunnen niet met passer en liniaal geconstrueerd worden.

De imaginaire eenheid i is een algebraïsch getal, want i is een wortel van de vergelijking $x^2+1=0$ , bijgevolg is $e^i$ transcendent. We weten dat $e^i=\cos 1+i \sin 1$ . Omdat de som van twee algebraïsche getallen algebraïsch is , kunnen $\cos 1$ en $\sin 1$ onmogelijk allebei algebraïsch zijn. Maar als bijvoorbeeld $\cos 1$ algebraïsch zou zijn dan is $\sin 1=\sqrt{1-\cos^2 1}$ het ook en omgekeerd. Bijgevolg zijn $\cos 1$ en $\sin 1$ allebei transcendent en is het duidelijk dat een hoek van 1 radiaal niet te tekenen is met passer en lineaal.

De verjaardagsparadox

Geplaatst op 1 januari 2024 door admin

Hoe groot is de kans dat in een groep van n personen er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn? Dit probleem, in 1939 bedacht door de Oostenrijks wetenschapper en filosoof, Richard von Mises(1883-1953), is belangrijk omdat de oplossing de meeste mensen onwaarschijnlijk lijkt.

Als we uitgaan van 365 dagen in een jaar is de gevraagde kans gelijk aan

$1-\frac{365!}{(365-n)!365^n}$

Een paar waarden:

$\begin{array}{c|c} n& kans \\ \hline 20&0,411\\23&0,507\\30&0,706\\40&0,891\\50&0,970 \end{array}$

Voor een groep van 23 personen is de kans al 50%. Dat het aantal personen in de groep zo laag is, komt doordat we niet specifieke persoenen of een specifieke datum zochten. Van 23 personen zijn 253 verschillende paren voor te stellen, en maar 1 van die paren hoeft te voldoen!

Nootje 44

Geplaatst op 27 december 2023 door admin

Bereken

$A= \sqrt{p^{12}-127}$

als je weet dat zowel $p$ als $p^{12}+3$ priemgetallen zijn.

“Antwoord“

$p^{12}+3$ is een priemgetal groter dan 3, dus oneven. Bijgevolg moet $p^{12}$ zelf even zijn.
Maar dan ist $p=2$ .
Dan is $p^{12}-127=4096-127=3969$ .
Dus is $A=63$

Nootje 43

Geplaatst op 24 december 2023 door admin

Zoek de oppervlakte van de getekende cirkel.

Antwoord

Noem de rechthoekzijden van de rechthoekige driehoeken a en b.
Dan is $a*b=2*24=48$ .
De totale oppervlakte van het grote vierkant is 100 plus vierkeer de rechthoekige driehoek met oppervlakte 24, dus 196. Bijgevolg is de zijde van het grote vierkant gelijk aan 16. Dus is $a+b=16$
Uit de twee betrekkingen met a en b vinden we dan dat $a=8$ en $b=6$ .
Nu weten we dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de straal van de ingeschreven cirkel vermenigvuldigd met de halve omtrek van de driehoek. Bijgevolg is de straal gelijk aan 2.
De oppervlakte van de getekende cirkel is $4\pi$ .

Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud

Geplaatst op 17 december 2023 door admin

Een programma in Python om de god en het ktv van twee getallen te berekenen. We maken gebruik van het algoritme van Euclides, dat zegt dat de grootste gemene deler van a en b ( met a>b) gelijk is aan de grootste gemene deler van b en de rest bij deling van a door b. Verder gebruiken we de formule dat het product van de ggd en het kgv gelijk is aan het product van de twee gegeven getallen.

een voorbeeld: