Nootje 13

Geplaatst op 21 februari 2020 door admin

De zijden van de driehoek ABC hebben gehele getallen als lengte en de omtrek is 7. Bepaal alle mogelijke lengtes van zijde AB.

Antwoord

Volgens de driehoeksongelijkheid is de grootst mogelijke zijde 3. Want stel dat het 4 zou zijn dan blijft er nog voor de som van de andere zijden 3 over en omdat elke zijde kleiner is dan de som van de andere twee, kan dat niet
Ze kunnen ook niet alle drie een lengte kleiner dan 3 hebben omdat de omtrek anders nooit 7 kan zijn.
Er is dus een zijde met lengte 3. Voor de andere zijden heb je dan 2 en 2 of 1 en 3.
Bijgevolg kan AB lengte 1,2 of 3 hebben.

Geplaatst op 29 april 2019 door admin

Antwoord

Noteer de drie zijden van de driehoek door $a,b$ en $c$ en de hoogtelijnen door $h_a,h_b$ en $h_c$ .
Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde.
Veronderstel dat $a$ de grootste zijde is dan is $a\geq \frac{2}{3}$ .
De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan $\frac{1}{2}a.h_a$ , maar ook gelijk aan $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ . Hierin is $p$ de halve omtrek en dus is $p=1$ .
Bijgevolg is $\frac{1}{2}a.h_a = \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ of $h_a=\frac{2}{a}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 3\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ .
Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : $\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{1}{\sqrt{27}}$ .
Ten slotte is dus $h_a \leq 3.\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Geplaatst op 7 maart 2019 door admin

Antwoord

Neem g(x) = f(x) – 5. Dan heeft g(x) 4 verschillende nulwaarden: a,b,c en d.
We kunnen dus schrijven dat g(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) ofwel f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) + 5. Hierbij is h(x) een veelterm met gehele coëfficiënten.
Veronderstel dat er toch een y zou bestaan zodat f(y) = 8, dan zou
(y – a)(y – b)(y – c)(y – d)h(y) = 3.
De 5 factoren in het linkerlid zijn allen gehele getallen, waarvan de 4 eerste zeker al verschillend zijn. Omdat 3 = 1.3 of 3= (-1). (-3) kan je nooit 4 verschillende factoren hebben.
De waarde 8 kan dus nooit bereikt worden door f(x).

Geplaatst op 17 december 2018 door admin

Antwoord

Veronderstel dat het product van de getallen toch deelbaar is door 2019, dan is het product gelijk aan 2019.n
De twee getallen zijn dan oplossingen van de vierkantsvergelijking
$x^2-2019x+2019n=0$
De discriminant D moet dus een volkomen kwadraat zijn. Nu is $D=2019^2-4\times 2019n=3\times 673(2019-4n)$ . Dit is een volkomen kwadraat als $2019-4n=3 \times 673 k^2$ . Maar dan is $2019-4n=2019k^2\geq 2019$ en dit is onmogelijk.