Nootje 9

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan \frac{1}{\sqrt{3}}.

Antwoord

  • Noteer de drie zijden van de driehoek door a,b en c en de hoogtelijnen door h_a,h_b en h_c.
  • Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan \frac{1}{\sqrt{3}}. De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde.
  • Veronderstel dat a de grootste zijde is dan is a\geq \frac{2}{3}.
  • De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan \frac{1}{2}a.h_a, maar ook gelijk aan \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Hierin is p de halve omtrek en dus is p=1.
  • Bijgevolg is \frac{1}{2}a.h_a = \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} of¬† h_a=\frac{2}{a}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 3\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} .
  • Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}.
  • Hieruit volgt dat \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{1}{\sqrt{27}}.
  • Ten slotte is dus h_a \leq 3.\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

De formule van Heroon en gelijkaardige formules.

Misschien kennen jullie de formule van Heroon om de oppervlakte te berekenen van een driehoek in functie van de zijden van de driehoek? Maar kan je deze formule ook uitbreiden naar een formule om de oppervlakte te berekenen van een driehoek in functie van de drie zwaartelijnen of de drie hoogtelijnen? Lees hier de oplossing.
heroon