Categorie archieven: Getaltheorie

De klok

Geplaatst op door

Kunnen de drie wijzers van een uurwerk onderling twee aan twee hoeken van 120 graden vormen?

  • Noteer het tijdstip als x. Dit is een reëel getal. De kleine wijzer staat dan op 30x mod 360. graden, want na 1 uur heeft deze wijzer 30 graden afgelegd. De grote wijzer staat dan op 360x mod 360 graden, vermits er 60 minuten in een uur zijn. Omdat er 60 seconden in een minuut zijn , zal tenslotte de secondewijzer op 21600x mod 360 graden staan.
  • Het vraagstuk herleidt zich tot een volgend stelsel (telkens mod 360 genomen):

        \[30x-360x=120\]

        \[360x-21600x=120\]

        \[21600x-30x=120\]

  • Het kan ook het volgende  stelsel geven:

        \[360x - 30x=120\]

        \[21600x-360x=120\]

        \[30x-21600x=120\]

  • We bespreken enkel het eerste stelsel; het tweede geval verloopt analoog.
  • Na vereenvoudiging krijgen we :

        \[x=\frac{4}{11}(\mod \frac{12}{11})\]

        \[x=\frac{1}{177}(\mod \frac{3}{177})\]

        \[x=\frac{8}{719}(\mod \frac{12}{719})\]

  • Dus

        \[x=\frac{4}{11}(1+3k)=\frac{1}{177}(1+3l)=\frac{4}{719}(2+3m)\]

  • Maar dan moet  

        \[4.177.719(1+3k)=11.719(1+3l)\]

  • Dis  is onmogelijk want het eerste lid is een drievoud en het tweede niet!
  • De drie wijzers kunnen dus nooit twee aan twee een hoek van 120 graden vormen.

Priemtweelingen

Geplaatst op door

Een paar opeenvolgende priemgetallen waarvan de afstand 2 is, noemen we een priemtweelingen. Buiten de eerste priemtweelingen 3-5 vinden we bijvoorbeeld ook 5-7, 11-13, 17-19,… Ze ontstaan allemaal (behalve 3-5), door vertrekkend van 5-7, een translatie uit te voeren over 6 eenheden. Dit is logisch want een priemgetal is altijd van de vorm 6k+1 of 6k-1. 

Een Python programma om alle priemtweelingen kleiner dan 1000 te bepalen:
De output:

Een paar ‘leuke ‘ eigenschappen, die zeer eenvoudig te bewijzen zijn:

  • Een priemtweelingen heeft een symmetriemidden dat steeds een 6-voud is.
  • De som van twee elementen van een priemtweelingen is steeds een 12-voud.
  • De afstand voor de overeenkomstige elementen van twee priemtweelingen is steeds een 6-voud.
  • De afstand van het grootste getal van de kleinste priemtweeling tot het kleinste getal van de grootste priemtweelingen is een 6-voud min 1.
  • Er bestaat geen grootste priemtweeling.

                                  

Rationale getallen

Geplaatst op door

Is het juist dat, indien x^7 en x^{12} rationaal zijn, x eveneens rationaal is?

We weten dat de vermenigvuldiging en de delig door een getal, verschillend van 0, inwendige bewerkingen zijn in \mathbb{Q}.  Dus als x^{12} en x^7 rationaal zijn, dan is hun quotiënt x^5 dat ook . Maar dan is het quotiënt van x^7 en x^5, en dat is x^2, ook een rationaal getal. Als x^2 rationaal is, dan ook (x^2)^3=x^6. Tenslotte volgt uit het feit dat x^6 en x^5 allebei rationaal zijn dat hun quotiënt x dat ook is.Het antwoord op de gestelde vraag is dus bevestigend.

We kunnen dit ook anders oplossen: We zoeken eigenlijk twee getallen a en b zodat (x^{12})^a:(x^7)^b=x, waarbij a en b gehele getallen zijn. Maar dan moet

    \[12a-7b=1\]

Dit is een Diophantische vergelijking en omdat de grootste gemene deler van 12 en 7 gelijk is aan 1, heeft deze vergelijking oneindig veel oplossingen. De meest eenvoudige is a=3 en b=5. Dit geeft ons in één keer ook de mogelijkheid het probleem te veralgemenen. Als we in de opgave werken met bijvoorbeeld x^9 en x^{12}, dan klopt het niet meer: de Diophantische vergelijking 12a-9b=1 heeft immers geen oplossingen omdat de grootste gemene deler van a en b gelijk is aan 3.

Priemfaculteit

Geplaatst op door

Veronderstel dat p een priemgetal is. Definieer dan priemfaculteit p, genoteerd als p#, als het product van alle priemgetallen kleiner dan of gelijk aan p. Een paar voorbeelden.

    \[\begin{array}{c|r} p&p\#\\ \hline 2&2\\3&6\\5&30\\7&210\\11&2310 \end{array}\]

Men kan deze definitie uitbreiden voor niet priemgetallen. Zo is n# het product van alle priemgetallen kleiner dan n, als n niet priem is. Bijgevolg is, bijvoorbeeld, 7#=8#=9#=10#= 210.

Onderstaande grafiek geeft de waarde van n! en n# grafisch weer:

 

 

 

 

 

 

Verder is ook volgende eigenschap belangrijk: als n steeds maar toeneemt, zal (p\#)^{\frac{1}{n}} convergeren naar het getal van Euler: e

 

Is dat een kwadraat?

Geplaatst op door

Hoe kan je bij grote getallen zien of een getal al dan niet een kwadraat is?  We geven twee gemakkelijke methoden om te kunnen constateren, dat een getal geen kwadraat is.

  • We kijken naar het laatste getal: alleen als dat een O, 1, 4, 5, 6 of 9 is kan het getal een kwadraat zijn. dus kunnen we gemakkelijk concluderen dat 475623872 geen kwadraat is. 
  • Berekenen we bij de eerste kwadraten eens de som der cijfers modulo 9. We noemen dit de testwaarde van het getal.
    Dan zie je dat de cijfers 1,0,4,7  steeds terugkeren. Omdat (9x+y)^2=81x^2+18xy+y^2 weten we dat de getallen 9x+y dezelfde testwaarde hebben dat y^2. Dus moeten we enkel rekening houden met de eerste rij op de tabel hierboven. Als de testwaarde niet 0,1,4 of 7 is dan kan het getal nooit een kwadraat zijn. Het getal 89254869 zou volgens de eerste methode een kwadraat kunnen zijn, maar de testwaarde is 6 en dus weten we volgens de tweede methode dat het zeker geen kwadraat is.
  • Beide methoden laten ons in de steek bij de getallen 147456 en 174456. De twee methoden zijn dus niet sluitend, maar je kan in ieder geval al veel getallen, op een snelle manier, uitsluiten.