Tag archieven: getaltheorie

Opgave 39

Geplaatst op door

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm

    \[3^m+3^n+1\]

met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Antwoord

  • Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat

        \[3^3+3^n+2=k^2\]

  • Dan is 3^m+3^n=(k+1)(k-1). Omdat het linkerlid even is en omdat k-1 en k+1 dezelfde pariteit hebben, zijn k-1 en k+1 opeenvolgende even getallen.
  • Dit betekent ook dat ofwel k-1 ofwel k+1 een viervoud is. Het rechterlid (k-1)(k+1) is dus deelbaar door 8.
  • Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som 3^m+3^n is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
  • Bijgevolg kan 3^m+3^n+1 nooit een volkomen kwadraat zijn.

2 opgaven over priemgetallen

Geplaatst op door

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat p^2+q^2+r^2 geen priemgetal is.

Antwoord
  • Elk priemgetal x is van de vorm 3k\pm 1.
  • Dan is x^2 van de vorm 3l+1. 
  • De som van 3 priemgetallen is dan : p^2+q^2+r^2=3l+1+3n+1+3m+1=3(l+m+n+1).
  • Dus is p^2+q^2+r^2  niet priem.

Als 2^k+1 een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord
  • Stel dat k geen macht van 2 is, dan is k=n.2^q, waarbij n zeker oneven is.
  • Nu is A= 2^k+1=2^{n.2^q}=\Big(2^{(2^q)}\Big)^n+1.
  • Algemeen geldt er dat , bij oneven n, x^n+1 steeds deelbaar is door x+1.
  • Bijgevolg is A deelbaar door 2^{(2^q)}+1 en hebben we een tegenspraak.
  • Dus is k wel een macht van 2.

Stelling van Dirichlet voor rekenkundige rijen

Geplaatst op door

De Stelling van Dirichlet over rekenkundige rijen, ook bekend onder de naam Priemgetallenstelling van Dirichlet (Duits wiskundige, 1805-1859), is een stelling uit de getaltheorie die handelt over het voorkomen van priemgetallen in rekenkundige rijen.

De stelling luidt dat, als a en b onderling ondeelbaar zijn, dus hun grootste gemene deler gelijk is aan 1, de rij

{\displaystyle a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ a+4b,\ \dots }

oneindig veel priemgetallen bevat. 

De stelling is een veralgemening van een bewering door Euler dat elke rekenkundige rij die met 1 begint oneindig veel priemgetallen bevat. De huidige vorm werd geformuleerd door Legendre en in 1837 bewezen door Johann Dirichlet.

De wiskundewereld heeft zich eigenlijk altijd al beziggehouden met het zoeken naar formules van rijen die oneindig veel priemgetallen bevatten.