Opgave 25

Wanneer is het produkt P van de eerste n natuurlijke getallen deelbaar door hun som S?

Antwoord

  • Omdat deelbaarheid van een getal door een ander getal een kwestie is van aan te tonen dat de factoren van ene getal ook factoren zijn van het andere getal, gaan we de som 1 + 2 + 3 +… + n vervangen door  \frac{1}{2}n(n+1).
  • Voor n = 1 is het duidelijk dat er deelbaarheid is. We nemen dus n>1.
  • Er is geen reden om n op een bepaalde manier te bekijken, dus zijn we het best gediend met 2 hoofdgevallen te bekijken : n even en n oneven.
  • Als n oneven is, stellen we n = 2m + 1. Dan is S=(2m+1)(m+1) en P=1.2....m(m+1)....(2m+1). Het is duidelijk dat de twee factoren  2m+1 en m+1 in S ook factoren zijn van P. Besluit: als n oneven is dan is P altijd deelbaar door S.
  • Als n even is, stellen we n=2m en dan is S=m(2m+1) en P=1.2.....m.....2m. De factor m uit S is dus zeker al een factor van P.
  • Rest dus nog de vraag wanneer \frac{1.2...m....2m}{m} deelbaar is door 2m+1? Als 2m+1 een priemgetal is komt het zeker niet voor in 1.2....(m-1)(m+1)...2m.
  • Als 2m+1 geen priemgetal is dan schrijven we 2m+1=a.b met 1<a\leq b. Dit betekent onder meer dat 2m \geq 3. Uiteraard is b\leq 2m-1 . Als nu a<b, dan staan beide factoren a en b in het produkt 1.2....(m-1)(m+1)...2m.
  • Blijft nog de mogelijkheid dat a=b. Het is duidelijk dat a>2, waaruit volgt dat a-1 \geq 2 , a^2-a\geq 2a, a^2-2>2a en dus 2m-1>2a. Hieruit volgt dat a en 2a allebei als factoren voorkomen in 1.2....(m-1)(m+1)...2m.
  • Algemeen besluit: P is niet deelbaar door S als n+1 een oneven priemgetal is.

Opgave 24

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

    \[0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1\]

Antwoord

  • De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor \tan(a-b).
  • Bovendien volgt uit 1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})} dat \tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1.
  • Verdeel nu het interval ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ in 8 gelijke stukken.
  • Noteer de 9 gegeven getallen door a_i met i=1,2,\cdots,9. Stel vervolgens x_i=\text{ bgtan }(a_i).
  • Er zijn 9 getallen x_i voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen x_i en x_j met x_j>x_i in hetzelfde interval liggen.
  • Dan geldt 0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}.
  • Omdat de tangensfunctie stijgend is op ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, volgt hieruit dat 0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1.

Opgave 23

Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij x_n=9n+7?

Antwoord

  • n=1 en n=2 leveren onmiddellijk kwadraten op, maar daarna duurt het precies wel even voor je terug een kwadraat krijgt. Zijn er nog wel?
  • De getallen x_n moeten tot de restklasse 7 modulo 9 behoren en een kwadraat zijn. Opdat x_n=m ^2 is het nodig en voldoende dat m^2 \equiv 7 \text{ mod } 9.
  • Het is niet moeilijk de verchillende restklassen mod 9 op te schrijven voor m^2:
    \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} m^2&0^2&1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&6^2&7^2&8^2\\ \hline \text{ mod }9&0&1&4&0&7&7&0&4&1 \end{array}
  • Dus moet m \equiv 4 \text{ mod }9 of m \equiv 5 \text{ mod }9.
  • In het eerste geval is 9n+7=(9t+4)^2 of n=9t^2+8t+1. Als n \leq 1000, dan moet 0\leq t\leq 10. Dit levert ons al 11 oplossingen.
  • In het tweede geval  moet  9n+7=(9t+5)^2 of n=9t^2+10t+2. Als n \leq 1000, dan moet 0\leq t\leq 9. Dit geeft ons al 10 oplossingen.
  • In totaal heb je dus 21 termen in de rij die een volkomen kwadraat zijn.

Opgave 22

Gegeven: A(x)=x^4+4x^3+8x^2+4x+16. Zoek alle getallen x waarvoor A(x) een volkomen kwadraat is.

Antwoord
  • Het is duidelijk dat A(0)=16 een volkomen kwadraat is. Zijn er nog andere mogelijkheden?
  • A(x) lijkt op B(x)=(x+1)^4=(x^2+2x+1)^2: namelijk A(x)=B(x)+(2x^2+15). Met andere woorden A(x) is zeker groter dan (x^2+2x+1)^2.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+2)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 4x-12=0 of x=3.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+3)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 2x^2+8x-7=0 . Dit heeft geen gehele oplossingen.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+4)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 4x^2+12x=0 . Bijgevolg is  x=0 of x=-3.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+5)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 6x^2+16x+9=0 en hier zijn geen gehele oplossingen mogelijk.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+6)^2. Dan is A(x)=C(x)-(8x^2+20x+20). Hieruit volgt dat A(x)< C(x) en dus stopt ons onderzoek hier.
  • De enige oplossingen zijn 0,3,-3. Hierbij is A(0)=16=4^2, A(3)=289=17^2 en A(-3)=49=7^2.
  • Gelukkig kunnen we A(x) naar boven begrenzen, anders zou het proces oneindig lang verdergaan.

Opgave 21

Maak met de cijfers 3,4,5,6,7,8 en 9 een getal X van 4 cijfers en een getal Y van 3 cijfers zodat het product X.Y zo groot mogelijk is.

Antwoord
  • We schrijven X en Y in hun tientallige notatie: X=a.10^3+b.10^2+c.10+d en Y=e.10^2+f.10+g.
  • Dan is
    X.Y= ae 10^5+(af+be).10^4+(ce+bf+ag).10^3+(bg+cf+de).10^2+(cg+df).10+dg.
  • Om X.Y maximaal te maken kiezen we ae zo groot mogelijk. Dit kan op 2 manieren.
  • Neem a=9 en e=8. Dan is de coëfficiënt van 10^4 gelijk aan 9f+8b en die wordt maximaal voor f=7 en b=6. De coëfficiënt van 10^3 is dan 8c+42+9g en die wordt zo groot mogelijk voor c=4 en g=5. Blijft over d=3. Dan is X=9643 en Y=875 en X.Y=8437625.
  • Als a=8 en e=9. Dan is de coëfficiënt van 10^4 gelijk aan 8f+9b en die wordt maximaal voor f=6 en b=7. De coëfficiënt van 10^3 is dan 9c+42+8g en die wordt zo groot mogelijk voor c=5 en g=4. ook hiet volgt dat d=3. Dan is X=8753 en Y=964 en X.Y=8437892.
  • Bijgevolg moet X=8753 en Y=964.