Veeltermen met gehele coëfficiënten

Stel P(x) een veelterm met gehele coëfficiënten en a en b gehele getallen, dan geldt

    \[a-b \text{ deelt} P(a)- P(b)\]

Hieruit volgt de gekende regel dat als a een gehele nulwaarde is van P(x), dan moet a een deler zijn van de constante term in P(x). Neem a een gehele nulwaarde van P(x), dan is , volgens vorige stelling a-0 een deler van P(a)-P(0). Omdat P(a)=0 volgt hieruit dat a een deler is van P(0), wat moest bewezen worden.

Toepassing: Gegeven is een veelterm P(x) met gehele coëfficiënten veronderstel dat P(x)= \pm 1 voor  3 verschillende gehele getallen. Bewijs dat P(x) geen geheel nulwaarden heeft.

Stel dat er toch een geheel nulwaarde is: P(d)=0 en d is een geheel getal. Uit de gegeven stelling volgt dan dat a-d, b-d en c-d delers zijn van 1. Dit zijn drie verschillende getallen. Dit is dus onmogelijk omdat 1 slechts 2 delers heeft.

 

Nootje 7

Zoek de maximale waarde van b in P(x)=ax^2+bx+c, als a,b en c reële getallen zijn en |P(x)|\leq 1 voor -1 \leq x\leq 1. Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord Klik hier