Veeltermen met gehele coëfficiënten

Stel P(x) een veelterm met gehele coëfficiënten en a en b gehele getallen, dan geldt

    \[a-b \text{ deelt} P(a)- P(b)\]

Hieruit volgt de gekende regel dat als a een gehele nulwaarde is van P(x), dan moet a een deler zijn van de constante term in P(x). Neem a een gehele nulwaarde van P(x), dan is , volgens vorige stelling a-0 een deler van P(a)-P(0). Omdat P(a)=0 volgt hieruit dat a een deler is van P(0), wat moest bewezen worden.

Toepassing: Gegeven is een veelterm P(x) met gehele coëfficiënten veronderstel dat P(x)= \pm 1 voor  3 verschillende gehele getallen. Bewijs dat P(x) geen geheel nulwaarden heeft.

Stel dat er toch een geheel nulwaarde is: P(d)=0 en d is een geheel getal. Uit de gegeven stelling volgt dan dat a-d, b-d en c-d delers zijn van 1. Dit zijn drie verschillende getallen. Dit is dus onmogelijk omdat 1 slechts 2 delers heeft.

 

Nootje 7

Zoek de maximale waarde van b in P(x)=ax^2+bx+c, als a,b en c reële getallen zijn en |P(x)|\leq 1 voor -1 \leq x\leq 1. Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord

  • We weten dat b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1)).
  • Nu zijn zowel P(1) als P(-1) volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1.
  • De maximale waarde voor b is dus 1.
  • Neem P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1. Omdat 0\leq x+1\leq 2  is |P(x) | \leq 1. Bovendien is na uitwerking P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}, zodat b=1.