Categorie archieven: Weetjes

Mooiheid van getallen

Geplaatst op door



De teller van elke breuk van je schrijven als n*111=n*3*37. Hierbij kan n elke waarde uit \{1,2,\cdots,9\} aannemen.

De noemer van elke breuk is dat n+n+n=3*n

Bijgevolg is elke breuk gelijk aan \frac{n*3*37}{3*n}=37.

 

Grazende koeien

Geplaatst op door

 

Op een weide grazen 70 koeien in 24 dagen de hele weide kaal. Zou men er slechts 30 koeien opzetten dan was er voldoende gras voor 60 dagen. Hoeveel koeien kan men op de weide plaatsen als men wilt dat er voldoende voedsel is voor 96 dagen?

  • Hoe meer koeien hoe minder graasdagen? Dus omgekeerd evenredig?
  • Neen, want dan zou het product van het aantal koeien en het aantal graasdagen constant moeten zijn en in ons verhaal is dat niet zo :

        \[70*24\neq 30*60\]

  • Er zit een verborgen onbekende in ons probleem. We mogen gerust veronderstellen dat het gras op gelijkmatige wijze groeit van dag tot dag. Noteer met y de dagelijkse aangroei van de grashoeveelheid als fractie van de oorspronkelijke hoeveelheid. Stel de oorspronkelijke hoeveelheid gras door door 1.
  • Per dag eten de koeien dan, in het eerste geval,

        \[\frac{1+24y}{24}\]

  • Per koe en per dag is dat dan

        \[\frac{1+24y}{24*70}\]

  • Een analoge redenering voor de tweede situatie geeft dan:  

        \[\frac{1+60y}{30*60}\]

  • Door deze 2 formules aan elkaar gelijk te stellen vinden we y=\frac{1}{480}
  • Elke koe eet dus per dag een \frac{1}{1600}-ste deel van de oorspronkelijke hoeveelheid gras eet.
  • In te vullen in het laatste gegeven, waarbij we het aantal koeien voorstellen door x, krijgen we :

        \[\frac{1+96\frac{1}{480}}{96x}=\frac{1}{1600}\]

  • Hieruit volgt dat x=20.

Dit probleem is gebaseerd op het grazende koeienprobleem van Sir Isaac Newton ( in Aritmethica Universalis uit 1707)

Roosterpunten op een hyperbool

Geplaatst op door

Beschouw de vergelijking

    \[3x^2-4xy+5=0\]

Bij de vraag  naar oplossingen (x,y) van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

  • Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
  • De rationale oplossingen zijn

        \[\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}\]

    De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
  • Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking. 
    Omdat

        \[3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5\]

    moeten, als x en y geheel zijn, zowel x als 3x-4y gehele delers zijn van -5. Dit aantal is eindig.
    Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: (1,2),(-1,-2),(5,4) en (-5,-4)

Omzetting mijlen naar kilometer

Geplaatst op door

1 mijl( = 1 mi ) is 1,609344 km, wat dicht bij het gulden getal \varphi =1,618 ligt. De waarde van \varphi wordt benaderd door de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Daarom kan je voor de omzetting van mijlen naar kilometer en omgekeerd gebruik maken van opeenvolgende Fibonacci getallen, met vrij grote nauwkeurigheid.