Pseudopriemen

De kleine stelling van Fermat leert ons dat voor een priemgetal p geldt dat

    \[a^{p-1} \equiv 1 \mod p\]

of voor getallen a die onderling ondeelbaar zijn met p: a^p \equiv a \mod p.

De stelling van Fermat is niet omkeerbaar. Inderdaad is  2^{340} \equiv 1 \mod 341 en 341 = 11 \times 31. In de vijfde eeuw voor onze jaartelling wisten de Chinezen al dat uit p priem volgt dat 2^{p-1} \equiv 1 \mod p. Zij waren ook overtuigd van het omgekeerde. Ook Leibniz was daarvan overtuigd. Slechts in 1819 vond F. Sarrus bovenvermeld tegenvoorbeeld.

We noemen 341 een pseudopriem t.o.v. de basis 2.

Een Carmichael getal is een getal  p dat niet priem is en waar voor alle a die onderling ondeelbaar zijn met p, toch geldt dat a^{p-1} \equiv 1 \mod p. Zo is bijvoorbeeld 561 het kleinste Carmichael getal. De volgende Carmichael getallen zijn  1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841 en  29341. Pas in 1994 werd bewezen dat er oneindig veel Carmichael getallen zijn.

De naam Carmichael getal komt van de Amerikaanse wiskundige  Richard David  Carmichael ( 1979-1967) die het bestaan ervan introduceerde in 1910. Een andere naam voor deze getallen is absolute pseudopriemen

Het probleem van Fagnano

Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC. Zoek een ingeschreven driehoek DEF  met de kleinst mogelijke omtrek.

Dit probleem werd in 1775 gesteld door de Italiaanse wiskundige J.F.Fagnano.

Eén van heuristieken gebruikt bij problem solving leert ons het probleem aan te pakken voor een speciaal geval: neem het  punt D  vast. Spiegel vervolgens D rond de twee aanliggende zijden tot S en T. 

De omtrek van DEF is gelijk aan de lengte van SFET. De kleinst mogelijke omtrek krijgen we dus als als SFET zo klein mogelijk is, dus als we F en E nemen op de rechte ST.
Merk op dat de driehoek SAT gelijkbenig is en dat de tophoek SAT gelijk is aan het dubbele van de hoek BAC. Aangezien het lijnstuk [ST] de basis is van een gelijkbenige driehoek met een vaste tophoek, zal deze basis zo klein mogelijk zijn als de lengte van de benen [AS] en [AT] zo klein
mogelijk is. We moeten het punt D dus zo kiezen dat [AS] en [AT] zo klein mogelijk zijn. Het is duidelijk dat |AS| = |AD| = |AT|. We moeten dus D op [BC] kiezen zodat|AD| zo klein mogelijk is. Bijgevolg moet D het voetpunt zijn van de loodlijn uit A op [BC] . 

Natuurlijk kunnen we in plaats van met D te beginnen ook via E of F werken. Zo krijgen we als oplossing de voetpuntsdriehoek:

 

 

Nootje 5

Zoek het bereik van f(x) = G(x) + G(2x), waarbij G(x) het grootste geheel getal is kleiner of gelijk aan x.

Antwoord Klik hier

Opgave 27

Uit {1,2,…,n} worden 4 opeenvolgende even getallen verwijderd. De overgebleven getallen hebben een gemiddelde van 51+ 9/16. Bepaal alle viertallen opeenvolgende even getallen die hieraan voldoen.
Antwoord Klik hier