Opgave 1: Driehoeksgetallen

driehoeksgetallen

Hierboven zie je de eerste 5 driehoeksgetallen. Kan je nu de volgende vragen beantwoorden?

  1. Als n een driehoeksgetal is, bewijs dan dan 8n+1 een volkomen kwadraat is.
    ( Plutarchus , 100 BC)
  2. De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is altijd een volkomen kwadraat. Bewijs. ( Nicomachus, 100 BC)
  3. Als n een driehoeksgetal is, bewijs dan dat 9n+1 en 25n+3 ook driehoeksgetallen zijn. ( Euler, 1775)

 

Antwoorden: Vraag 1 Klik hier

Antwoorden: Vraag 2 Klik hier

Antwoorden: Vraag 3 Klik hier

Rekenkundige rijen

Een rekenkundige rij (RR) u_n  is een rij van getallen zodat het verschil van twee opeenvolgende termen van die rij constant is. Deze constante noemt men het verschil v van de rij.

  • De algemene term van de rij is u_n=u_1+(n-1)v
  • De som van n termen van een RR wordt gegeven door :
    u_1+u_2+\cdots+u_n=\dfrac{u_1+u_n}{2} .n
  • Meer speciaal is 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
  • Ook is 1+3+5+...+(2n-1)=n^2

Eerste Internationale wiskunde olympiade

De Internationale Wiskunde Olympiade  is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor middelbare scholieren. Het is de oudste internationale wetenschapsolympiade. De eerste IWO werd gehouden in 1959 in Roemenië. Sindsdien is ze elk jaar gehouden, behalve in 1980. Ongeveer 100 landen sturen een team bestaande uit maximaal zes scholieren, één teamleider, één plaatsvervangende teamleider en eventuele waarnemers. Jaarlijks komen ongeveer 600 scholieren bijeen om de zes wiskundeopgaven zo goed mogelijk op te lossen.

imo

Lees hier meer over de eerste IMO en hier voor de opgaven

Eisenstein drietallen

We noemen een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) een Eisenstein drietal als a^2-ab+b^2=c^2. Zo is (3,8,7) een Eisenstein drietal

De naam komt van George Eisenstein, een leerling van Gauss. Daar waar Pythagorese drietallen corresponderen met een rechthoekige driehoek, komen Eisenstein drietallen overeen met een driehoek met een hoek van 60° waarbij c de zijde is tegenover de hoek van 60°. Want uit de cosinusregel volgt :

    \[c^2=a^2+b^2-2ab cos 60^\circ=a^2+b^2-ab\]

eisenstein

 

De Pythagorese drietallen konden via de definitie van de norm van een complex geheel getal geconstrueerd worden in \Mathbb{Z}[i]. We proberen iets gelijkaardigs te doen voor de Eisenstein drietallen.

Definieer \omega als de derde machtswortel uit 1: \omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}.
Omdat  \omega  voldoet aan de vergelijking z^3=1, zal \omega^2+\omega+1=0.

Vorm dan de verzameling \mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega : a,b \in \mathbb{Z}\} en definieer norm als N(a+b\omega)=a^2+b^2-ab. Je kan bewijzen dat de norm multiplicatief is en dus dat N(z^2)=(N(z))^2.

Om een Eisenstein drietal te vormen ga je dan als volgt te werk: Neem een willekeurig element van de vorm x+y\omega en bereken het kwadraat ervan. Dit is een element van de vorm a+b\omega. Dan zal (a,b,x^2+y^2-xy) een Eisenstein drietal zijn.

Neem bijvoorbeeld z=3+2\omega. Dan is z^2=9+12\omega+4\omega^2 of z^2=9+12\omega-4-4\omega= 5+8\omega. Verder is N(z)=9+4-6=7. Bijgevolg is (5,8,7) een Eisenstein drietal. Inderdaad: 5^2+8^2-5.8=49=7^2.

 

 

Pythagorese drietallen en complexe getallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat a^2+b^2=c^2. Zo is (3,4,5) een Pythagorees drietal omdat 3^2+4^2=5^2De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.

piet

Een Pythagorees (a,b,c)  drietal heet primitief als de grootste gemene deler van a,b en c gelijk is aan 1. Zo is (3,4,5) primitief , maar ( 6,8,10) niet.

Wat hebben complexe getallen hiermee nu te maken? Neem een complex getal z = a+ bi met a en b geheel. We spreken dan van een complex geheel getal.  Definieer de norm N(z) van het complex getal als N(z) = a^2+b^2. Het is duidelijk dat de norm multiplicatief is, m.a.w. N(z.w)=N(z).N(w). Maar dan is

    \[N(z^2)=(N(z))^2\]

De betrekking a^2+b^2=c^2 kan je dus herschrijven als N(z)=c^2 met z=a+bi. We zijn dus op zoek naar complexe gehele getallen waarvan de norm een volkomen kwadraat is. Maar bovenstaande formule leert ons dat de norm van een complex getal een volkomen kwadraat is als het zelf een volkomen kwadraat is. Om een Pythagorees drietal te construeren, nemen we dus een willekeurig complex geheel getal en kwadrateren we dit getal. Dit kwadraat zal een complex getal  zijn a+bi zijn, waarvan de  norm N(a+bi)=a^2+b^2 een volkomen kwadraat is.

Neem bijvoorbeeld het complex getal 2+i. Dan is (2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i. De norm van dit kwadraat is 3^2+4^2=25 . Hiermee correspondeert het Pythagorees drietal ( 3,4,5).

Vertrekken we algemeen van het complex geheel getal z=x+yi. Kwadrateren we z:  (x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi. De norm hiervan is (x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2 Zo krijgen we de gekende formule voor een willekeurig Pythagorees drietal

    \[(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)\]

Als  x en y onderling ondeelbaar zijn , dan is het zo gevormde  Pythagorees drietal primitief. Bijgevolg hebben we aangetoond dat met deze constructie via kwadraten van complexe gehele getallen x+yi met x en y onderling ondeelbaar, elk primitief Pythagorees drietal kan worden verkregen.