Perfecte rechthoeken

Een rechthoek R die kan verdeeld worden in verschillende vierkanten van verschillende grootte,  noemt men een perfecte rechthoek. Zo een verdeling noemt men vierkansverdeling van orde n als er n verschillende vierkanten gebruikt worden.

Dit is een vierkansverdeling van orde 9 van een rechthoek van 32 bij 33. Deze verdeling werd gevonden door A Moron (1904-1971), een Pools wiskundige in 1925.

Lange tijd dacht men dat perfecte vierkanten niet bestonden.  Tot in 1939 de Duitse wiskundige R. Sprague een perfect vierkant vond van orde 55. Later , in 1940 hebben Reichert en Toepkin zelfs bewezen dat een perfect vierkant van een orde kleiner dan 9 niet bestaat. 

21 is de kleinste orde voor een perfect vierkant. Hieronder zie je een perfect vierkant met een unieke 21 vierkansverdeling . Is de orde hoger dan 21, dan zijn er meerder vierkanten mogelijk; zo zijn er bijvoorbeeld 441 perfecte vierkanten van orde 26.

Een touw rond de aarde

Neem een touw dat strak gespannen is rond een voetbal. Hoeveel langer moet ik dat touw maken om het 10 cm boven het oppervlak van de voetbal te laten lopen? Span vervolgens een touw om de evenaar. Dat zou 40000 km lang zijn. Hoeveel langer moet dit touw zijn om het rondom 10 cm te laten lopen?

Eenvoudige wiskunde kan ons helpen om onze intuïtie te overstijgen. De meesten onder ons denken inderdaad dat de oplossing bij het touw rond de evenaar veel langer is dan bij de voetbal. Mis!

Als R de straal is van de bal dan is de lengte van ons touw 2\pi R en na de vergroting 2\pi(R+0,10) meter. Hieruit blijkt dat het verschil 2\pi \times 0,10 meter is, ongeacht de straal van de voetbal of aarde. Bij benadering is dat 62,83 cm.

Dit vraagstuk komt uit een werk van William Whiston, een Engelse wiskundige en theoloog(1667 – 1752), voor zijn studenten schreef: De elementen van Euclides (1702). Hij was een leerling van Newton en volgde hem op als professor aan de universiteit van Cambridge. In 1710 werd  hij  er ontslagen wegens  zijn onorthodoxe  religieuze inzichten. Hij  vond het, onder andere,  een belediging van God, om te geloven in het  vuur  van  de hel.

Het matching probleem

Neem 4 kaarten met erop het nummer 1,2,3 en 4. Schud ze en leg ze op tafel terwijl je 1,2 3 en 4 zegt. Hoe groot is de kans dat  het nummer op de kaart overeen komt met het getal dat je zegt? 

Er zijn 4!= 24 mogelijke rangschikkingen; Noteer met P(i,4) de kans dat er i matches zijn bij 4 geschudde kaarten. Dan is 

  •  P(0,4)=\frac{9}{24}=0,375
  •  P(1,4)=\frac{8}{24}=0,333...
  •  P(2,4)=\frac{6}{24}=0,25
  •  P(4,4)=\frac{1}{24}=0,41666...

Het is duidelijk dat P(3,4) = 0 want als er 3 juist zijn moetje vierde automatisch ook juist zijn. Er bestaat een algemeen formule om de kans te berekenen op m matches in een rij van n geschudde kaarten:

    \[P(m,n)=\frac{1}{m!}\Big( \frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...+\frac{(-1)^{n-m}}{(n-m)!}\Big)\]

De kans op 0 matches komt overeen met de formule voor derangements. De kans op minstens 1 overeenkomst is  62,5%

Dit probleem werd voor het eerst bestudeerd door de Franse wiskundige Pierre Rémond de Montfort in zijn ‘Essay d’Analyse sur les Jeux du Hazard’ uit 1708.

Montfort voerde het experiment uit met 13 kaarten en noemde het spel Treize.

Stelling van Viviani

Kies een punt binnen een gelijkzijdige driehoek. Bereken de afstand van dit punt tot de drie zijden van de driehoek. Waar je dit punt ook plaatst de som van die afstanden is gelijk aan de hoogte van de driehoek.

De stelling kan eenvoudig bewezen worden. Noem het punt P en de driehoek ABC. De oppervlakte van ABC is gelijk aan de som van de oppervlakten van de driehoeken PAB, PAC en PBC. Hieruit volgt het gestelde.

Deze stelling is vernoemd naar de Italiaanse wiskundige en wetenschapper Vincenzo Viviani( 1622-1703).

We kunnen de eigenschap ook veralgemenen tot een regelmatige n-hoek. In dat geval is de som van de afstanden vanuit een punt binnen de veelhoek naar de n zijden gelijk aan n keer het apothema van de veelhoek.Zelfs het omgekeerde is waar: wanneer de som van de minimale afstanden naar elk van de zijden van een veelhoek onafhankelijk is van het gekozen punt binnen de veelhoek, dan is het een regelmatige veelhoek .