De sluitingsstelling van Thomsen

Neem een punt P_1 op de zijde [BC] van een driehoek ABC. Trek een evenwijdige met AC en noem het snijpunt met [AB] het punt P_2. Trek van daaruit een evenwijdige met BC en noem het snijpunt met [AC`] het punt P_3. Als je zo verder gaat komt je uiteindelijk terug in het punt P_1. Dit resultaat staat bekend als de sluitingsstelling van Thomsen.

Kies een doorloop zin voor de driehoek zodat een punt de zijde verdeelt in een ‘eerste ‘ en een ‘tweede ‘ deel. P_1 verdeelt [BC] in twee stukken met verhouding 1:k. Door de evenwijdigheid zal P_2 dan de zijde [AB] verdelen in 2 stukken met verhouding k:1

De verhouding keert dus om telkens we een andere zijde bereiken. Bij elke  3 stappen zitten we terug op het lijnstuk [BC].. Na 6 stappen komen we dus terug op [BC] en nu is de verhouding van de stukken dezelfde als in het begin. Dus P_7 zal samenvallen met P_1.

 

Dit resultaat danken we aan Gerhard Thomsen , een Duitse wiskundige die leefde van 23/6/1899 tot 4/1/1934.

Kussende cirkels

In de meetkunde is de stelling van Descartes, vernoemd naar René Descartes, een relatie tussen de stralen van vier onderling rakende cirkels.

De stelling geeft aan hoe uitgaande van drie onderling rakende cirkels een vierde cirkel te construeren is die aan deze drie raakt.In dit artikel gaan we het hebben over dergelijke problemen.

 

Bicyclische eenheden in ZG

 

Het bestuderen van eenheden in groepsringen in een belangrijk onderzoeksdomein in de studie van groepsringen. Voor niet abelse groepen heeft S.K Sehgal de bicyclische eenheden gedefinieerd als  belangrijk voorbeelden van eenheden, die in sommige gevallen alle eenheden voortbrengen. Lees volgend artikel over de definitie en de basiseigenschappen van deze voorbeelden van eenheden in de groepsring

Dobbelen voor goudstaven

Je mag maximaal 5 keer werpen met een dobbelsteen. Je mag na elke beurt stoppen, en je krijgt het aantal ogen van de laatste worp uitbetaald in goudstaven. Vind een strategie waarmee je gemiddeld het meest aantal goudstaven wint.

 

 

 

 

 

 

 

 

Als je 1 gooit, is het duidelijk ongunstig om te stoppen. En als je een 6 gooit, dan kan je dat niet verder verbeteren en is het logisch dat je dan stopt. Maar wat doe je als je iets anders gooit? Een handige manier om daar achter te komen is het volgende: als je de eerste van je 5 worpen afkeurt en besluit verder te gaan om hogere ogen te gooien, kom je eigenlijk in een nieuw spel terecht : een spel met 4 worpen met dezelfde spelregels. Zo doorredenerend kom je uiteindelijk in een spel terecht waarvan je de strategie al kent: je mag één keer gooien en je enige optie is te stoppen.

Hoeveel goudstaven zou die ene keer gooien gemiddeld opleveren? Vermits elke waarde van de dobbelsteen even waarschijnlijk geworpen wordt is dat

    \[\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=3,5\]

. Deze informatie helpt je bij het vorige spel: het spel met 2 worpen. Je wilt beter doen dan het gemiddelde. Dus als de eerste worp beter is dan 3,5 dan stop je en anders ga je door. Je kan in je eerste worp 4,5 of 6 goudstaven winnen elk met kans \frac{1}{6}. In het andere geval ga je door en win je gemiddeld 3,5 goudstaven. De totale gemiddelde winst van dit spel met 2 worpen is dus

    \[\frac{1}{6}(4+5+6)+\frac{1}{2}.3,5=4,25.\]

Deze waarde kan je nu weer gebruiken in het spel met 3 worpen. Je stopt bij de eerste worp als je 5 of 6  (meer dan 4,25) gooit. anders ga je verder en stopt als je 4,5 of 6 gooit. Zo niet ga je nog 1 keer verder. De gemiddelde winst is nu:

    \[\frac{1}{6}(5+6)+\frac{4}{6}\frac{1}{6}(4+5+6)+\frac{1}{2}3.5=4,66\]

Verder redeneren geeft volgende strategie voor het 5 beurten spel: Bij de eerste drie keer gooien alleen stoppen als je 5 of 6 gooit, bij de vierde beurt als je 4,5 of 6 gooit en anders er een laatste beurt aan wagen.  Stel a=\frac{1}{6}(5+6) en b=\frac{1}{6}(4+5+6), dan is de gemiddelde winst:

    \[a+\frac{4}{6}a+\frac{4}{6}\frac{4}{6}a+\frac{4}{6}\frac{4}{6}\frac{4}{6}b+\frac{4}{6}\frac{4}{6}\frac{4}{6}\frac{1}{2}.3,5=5,12\]

Met de gegeven strategie verdien je uiteindelijk gemiddeld  5,12 goudstaven.