Perfecte getallen

Wiskundigen zijn vaak geboeid door speciale eigenschappen van getallen. Zo kennen we bijvoorbeeld perfecte getallen, dit zijn positieve getallen n waarvan de som van de delers ( genoteerd door \sigma(n), tweemaal het getal is.

Voorbeelden zijn :
\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6=12
\sigma(28)=1+2+4+7+14+28=56
Zo zijn ook 496 en 8128 perfect. Deze 4 voorbeelden zijn allen even. De enige gekende perfecte getallen zijn inderdaad even. Hieromtrent kennen we volgend resultaat:
Als 2^n-1 een priemgetal is , dan is a=2^{n-1}(2^n-1) perfect en elk even perfect getal is van die vorm.

Het is een open probleem of er ook oneven perfecte getallen bestaan.

Reeds in de tijd van  Pythagoras werden  perfecte getallen onderzocht. Perfecte getallen hadden in die tijd een religieuze betekenis. In de beginjaren van het christendom was er een theorie dat de getallen 6 en 28 door God gekozen waren als perfecte getallen: 6 is het aantal dagen waarin God de aarde had geschapen en 28 is het aantal dagen waarin de maan om de aarde draait. De heilige Augustinus (354-430) schreef: Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.

Nicomachus van Gerasa vermeldde rond het jaar 100 in zijn boek Introductio Arithmeticae een aantal resultaten ( niet noodzakelijk waar) zoals: Het n-de perfecte getal heeft n cijfers; Alle perfecte getallen zijn even; Perfecte getallen eindigen afwisselend op een 6 of een 8; Er zijn oneindig veel perfecte getallen. Deze stellingen zijn in Europa eeuwenlang voor waar aangenomen. De Europeanen waren gedurende de vroege Middeleeuwen onbekend met het wiskundig onderzoek in de Arabische landen, onder andere dat van Ibn alHaytham en van Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus. Deze laatste wiskundige stelde in het begin van de 13e eeuw een lijst op met tien perfecte getallen, waarvan de eerste zeven inderdaad juist zijn, maar deze lijst raakte pas eeuwen later in Europa bekend.

Ongelijkheid met sinussen

Sommige ongelijkheden kunnen zeer elegant worden opgelost door gebruik te maken van de ongelijkheid van Jensen. Voor concave functies ( bol , tweede afgeleide negatief) wordt dit :

    \[\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \leq f\Big( \frac{x+y+z}{3}\Big)\]

In een driehoek met hoeken \alpha,\beta en \gamma geldt :

    \[\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \ \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Omdat \alpha,\beta,\gamma hoeken zijn van een driehoek zijn \alpha,\beta,\gamma elementen van [0,\pi ]. De sinusfunctie is concaaf op dit interval, want \sin''(x)=-\sin x \leq 0 in [0,\pi ]. Dus is, volgens Jensen: \frac{\sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Dus is \sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.

Nootje 3

Link

Er liggen 50 jetons op een rij. Op elke jeton staat een natuurlijk getal en de som van al die getallen is oneven. Joeke en Nienke nemen om beurten een jeton weg die aan één van de uiteinden van de rij ligt. Joeke mag beginnen. We tellen de getallen van de genomen jetons bij elkaar op. Bewijs dat Joeke  een strategie kan bedenken waarbij zij, in het totaal, de grootste som heeft.

Antwoord Klik hier