Griekse wiskunde: deel 3

De 5de eeuw voor Christus: de eeuw van Pericles, de gouden tijd voor de ontwikkeling van de letteren en de schone kunsten.

Eerste crisisperiode in de wiskunde: de sterke kritische reactie tegen de Pythagorese opvattingen is het werk van onder andere Heraclitus van Ephese (540 v.C. – 480 v. C.) en de wijsgeren uit de school van Elea.Hoewel niet gericht tegen de wiskunde als exacte wetenschap veroorzaakt deze scherpe rationalistische kritiek toch een eerste crisis van het wiskundig denken en leidt ze tot een streng-mathematische aanpak bij de volgende generatie wiskundigen.  Als belangrijkste factoren van deze crisis stippen we aan :

  • de ontdekking van irrationale getallen
  • de paradoxen van Zeno ( som van een oneindig aantal termen is niet steeds oneindig)
  • de trisectie van de hoek, de kwadratuur van de cirkel en de verdubbeling van de kubus (ze vonden geen oplossing met passer en liniaal)

Tijdens de tweede helft van de 5de eeuw vermelden we nog :

  • Meetkunde van de cirkel ( verwaarloosd door Pythagoras)
  • Theodorus van Cyrene toont aan dat de zijden van de vierkanten met oppervlakte 3,5,6,…,17 onmeetbaar zijn en bewijst dus dat \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},...,\sqrt{17} irrationale getallen zijn: de spiraal van Theodorus: 


  • Begin van de ruimtemeetkunde ( stereometrie) en perspectiefleer.

Inverse en complementaire rijen

 

Gegeven is een rij f(n) met n=0,1,2,.... Definieer dan

    \[g(n)=k \text{ als } f(k)<n\leq f(k+1)\]

Een voorbeeld: f(n)=0,0,0,1,2,3,3,4,5,6,7,10,… dan is g(n)=3,4,5,7,8,9,10,11,11,11

  • g(n) is eigenlijk het aantal termen in de rij f(n) die kleiner zijn dan n.
  • Als we op g(n) dezelfde procedure toepassen als op f(n), dan bekomen we terug f(n). Vandaar dat we g(n) de inverse rij van f(n) noemen.

Construeer nu volgende twee rijen: F(n)=f(n)+n en G(n)=g(n)+n. In ons voorbeeld is F(n)=1,2,3,5,7,9,10,12,14,...  en G(n)=4,6,8,11,13,15,17,19,20,.... Wat stellen we nu vast? De twee rijen F(n) en G(n) bevatten samen juist 1 keer elk positief natuurlijk getal. Dit feit en het omgekeerde werden ontdekt en bewezen in 1954 door de wiskundigen Lambek (zie hieronder)  en Moser,onder de voorwaarden dat(n)eng(n)niet-dalenderijen zijn van natuurlijke getallen.

De rijen F(n) en G(n) noemen we complementaire rijen.

Als het expliciet voorschrift van een rij gekend is,  kunnen we deze stelling gebruiken om het voorschrift te bepalen van de complementaire rij.  Zo kunnen we de natuurlijke getallen bijvoorbeeld opsplitsen in 2 rijen F(n) van de kwadraten en G(n) van de niet kwadraten: F(n)=1,4,9,16,25,... en G(n)=2,3,5,6,7,8,10,.... We weten dat F(n)=n^2. Wat is nu het voorschrift van G(n)? 

F(n) en G(n) zijn complementair en dus zijn f(n)=F(n)-n=0,2,6,12,20,... en g(n)=G(n)-n=1,1,2,2,2,2,3,... elkaars inverse. Nu is f(n-=n^2-n . Dan is g(n)=k als en slechts als f(k)<n\leq f(k+1) of m.a.w. k^2-k<n\leq k^2+k. Omdat n en k een natuurlijke getallen zijn is dan ook k^2-k+\frac{1}{4}<n< k^2+k\frac{1}{4}. Hieruit volgt dan uiteindelijk dat \sqrt{n}-\frac{1}{2}<k<\sqrt{n}+\frac{1}{2}. Dus : g(n)=\lfloor \sqrt{n}+\frac{1}{2} \rfloor en

    \[G(n)=n+\lfloor \sqrt{n}+\frac{1}{2} \rfloor\]

 

Differentie veeltermen

We beschrijven een manier om de waarden van een veelterm P(x) te berekenen als de waarden in opeenvolgende natuurlijke getallen gegeven zijn. 

De (eerste) differentie van P(x) is:

    \[D_1(x)=P(x+1)-P(x)\]

De k-de differentie wordt dan gedefinieerd als:

    \[D_k(x)=D_1(D_{k-1}(x))\]

Als de graad van P(x) gelijk is aan n, dan formuleren we volgende eigenschappen:

  • De graad van D_1(x) is n-1.
  • De graad van D_k(x) is n-k.
  • Via inductie vinden we

        \[D_k(x)=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}P(x+i)\]

  • D_n(x) is constant en D_{n+1}(x)=0.
  • De waarde van de constante D_n(x) is n! keer de co\”efficiënt\”ent van x^n in P(x).
  • P(x+n+i)=\sum_(I=0}^n(-1)^{k-i}\binom{n+1}{i}p(x+i).

Veronderstel dat f een veelterm is van graad 2 en dat f(1)=4,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=7 en f(5)=12 , bereken dan f(6). We zouden een voorschrift voor f kunnen opstellen via interpolatie of door 3 van de gegevens in te vullen in f(x)=ax^2+bx+c en dan het stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden op te lossen. Maar .. laten we  eens de differenties berekenen:

Omdat we weten dat D_2(x) constant is kunnen we de tabel zelf aanvullen:

en vinden we dat f(6)=19.

Een ander voorbeeld: zo is er geen veelterm P(n) waarvoor geldt dat P(n)=2^n voor elke positief natuurlijk getal n. Want : D_1(n)=2^{n+1}-2^n=2^n=P(n).  Dus wordt geen enkele differentie konstant en bestaat er geen veelterm met de gevraagde voorwaarde.

 

Sangaku 3

Antwoord Klik hier