Perfecte vierkanten

Een perfect vierkant van orde n is een vierkant dat opgedeeld is in n verschillende vierkanten waarvan geen twee vierkanten even groot zijn.
Het eerste perfecte vierkant werd in 1939 gevonden door Roland Sprague. Dit perfecte vierkant had orde 55. In de jaren daarop vond men nog meer perfecte vierkanten, ook van kleinere orde.

In 1962 begon de Nederlandse informaticus Adrianus Duijvestijn een zoektocht naar het perfecte vierkant met de laagste orde. Het duurde nog tot 1978 voordat computers snel en krachtig genoeg waren om dit probleem op te
lossen.

 

 

Het perfecte vierkant met de laagste orde wordt opgebouwd met 21 kleinere vierkantjes en heeft een zijde van 112.

Opgave 10

Bereken de vierkantswortel van x met

    \[x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5\]

Antwoord

  • x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5.
  • De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.
  • We vinden dan
    x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3.
  • Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3
  • We brengen op gelijke noemer: x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2.
  • Dan is \sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}.
  • Hieruit volgt dat  \sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}.
  • Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan

        \[\overbrace{3\cdots3}^n5\]