Vampier getallen

 

Een vampier getal is een getal met 2n cijfers dat geschreven kan worden als een product van twee getallen van n cijfers die ontstaan door de cijfers van het oorspronkelijke getal te gebruiken. Zo is 1260 een vampier getal want

    \[1260=21 \times 60\]

Vampier getallen werden het eerst gebruikt door Clifford Pickover, een Amerikaanse columnist op het gebied van wetenschap en wiskunde.

Sommige getallen kunnen zelfs op meerdere manieren als een vampier getal geschreven worden: 125460 = 204 × 615 = 246 × 510

Een Armstrong getal

Een Armstrong getal is een getal dat gelijk is aan de som van zijn cijfers elk verheven tot een macht gelijk aan het aantal cijfers van het getal. Zo zijn 153 en 1634 Armstrong of narcistische getallen want:

    \[153=1^3+5^3+3^3\]

 

    \[1634=1^4+6^4+3^4+4^4\]

Enkele merkwaardigheden:

  • De getallen 0 tot en met 9 zijn Armstrong getallen.
  • Het aantal Armstrong getallen is eindig. Je kan ze dus gemakkelijk met een computerprogramma allemaal laten berekenen. Zo zijn er slechts 88 Armstrong getallen.
  • Je kan dit ook definiëren met getallen in een andere basis. Zo is 122 een Armstrong getal in basis 3, want 122=1.3^2+2.3+2=17 in ons tiendelig stelsel en 1^3+2^3+2^3=1+8+8=17. Je kan gemakkelijk nagaan dat 0, 1, 2, 12, 22, 122 de enige Armstrong getallen zijn in basis 3.
  • De naam komt van de Amerikaanse leraar Michael Armstrong die deze getallen ‘uitvond’ als programmeer opgave.

Verwarring

Drie vrienden zitten op een terrasje en de ober brengt de rekening van 30 euro. Ze geven elk 10 Euro. De ober brengt het geld naar zijn baas, maar die ziet dat er een vergissing is gebeurd. Er is 5 Euro te veel gevraagd en hij zegt aan de ober het geld terug te geven aan de 3 vrienden. De ober steekt echter 2  Euro in zijn zak en geeft elk van de 3 vrienden 1 Euro terug.

Raar, want ze hebben nu elk 9 Euro betaald en samen met de 2 Euro die de ober op zak stak kom je uit op 3×9+2 = 29 Euro. Waar is de laatste Euro naar toe?

Antwoord Klik hier

 

3.Wiskunde in Mesopotamië

 

Mesopotamië wordt beschouwd als de bakermat van onze beschaving: het schrift, het wiel en de woonentiteit, die we nu ‘stad’ noemen, waren uitvindingen van de verschillende beschavingen die achtereenvolgens het gebied beheersten: Soemerë, Ur, Akkad en Babylonië. 

Het Mesopotamisch numeriek systeem is zestigdelig en positioneel:

POSITIONEEL : De cijfers van 1 tot 59 werden voorgesteld door een combinatie van 2 symbolen: het eenheidssymbool en het tien-symbool. 

ZESTIGDELIG : 1.60³+57.60²+46.60+40 = 424000

 

Het getal 0 kenden ze niet. Optellen en aftrekken ging erg vlot. Het vermenigvuldigen had wat meer voeten in de aarde. In ons tientallig stelsel, moeten de tafels tot en met 9 bekend zijn om te kunnen vermenigvuldigen.  Doordat ze echter gebruik maakten van een zestigtallig stelsel moesten alle tafels tot en met 59 bekend zijn om verder te rekenen. Zij hadden per tafel 23 producten nodig: van 1 tot en met 20, 30, 40 en 50. In totaal dus 59 × 23 = 1357 producten. Er zijn ook kleitabletten met hierop de kwadraten van 1 tot en met 59 gevonden.  Door gebruik te maken van de formule :

    \[a.b = \frac{1}{2}\Big((a+b)^2-a^2-b^2\Big)\]

 

    \[a.b=\frac{1}{4}\Big((a+b)^2-(a-b)^2\Big)\]

konden ze via de tabellen met kwadraten ook vermenigvuldigingen uitvoeren. Om een deling uit te voeren hadden ze een tabel waarin de omgekeerden stonden van hun basisgetallen.

Lange tijd werd gedacht dat de Babyloniërs niet aan meetkunde deden, maar alleen rekenden om bijvoorbeeld voedselvoorraden bij te houden. maar men heeft kleitabletten gevonden waar twee intervallen op staan wanneer Jupiter aan de horizon verschijnt. De positie van de planeet wordt berekend op zestig en honderdtwintig dagen. De tekst bevat geometrische berekeningen gebaseerd op het oppervlak van een trapezium met lange en korte zijden.

 

We geven een paar voorbeelden uit de praktijk van de Babylonische wiskunde:

  • Een methode om de verhouding van de diagonaal tot de zijde van een vierkant te berekenen: Een vierkant met zijde 30 heeft een diagonaal 42;25,35. Daaruit wordt de verhouding van de diagonaal tot de zijde berekend als 1;24,51,10 of omgerekend in ons tiendelig stelsel 1,4142130 wat ongeveer de vierkantswortel uit 2 is.


  • Pythagorese drietallen  in het tablet Plimton 322: