Pythagorese drietallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat

    \[a^2+b^2=c^2\]

Deze afbeelding heeft een leeg alt-attribuut; de bestandsnaam is pyt1.png

Zo zijn (3,4,5) en (5,12,13) allebei Pytagorese drietallen.
Het is duidelijk dat als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dat dan ook (ad,bd,cd) een Pythagorees drietal is. Oplossingen van a^2+b^2=c^2 die relatief ondeelbaar zijn, noemen we primitieve Pythagorese drietallen. Hiervoor kennen we volgend resultaat:


Als m en n relatief ondeelbare postieve gehele getallen zijn met m>n en waarbij één ervan even is en de andere oneven, dan vormen  a=m^2-n^2, b=2mn en c=m^2+n^2 een primieteve oplossing van a^2+b^2=c^2. Bovendien geldt dat elke primitief Pythagorees drietal van die vorm moet zijn, op een mogelijke permutatie van a en b na.

Geschiedenis van 0

Wat zou de wereld zijn zonder het getal 0? Wat was dan de uitkomst van de bewerking 5 – 5? En hoe hadden we dan onderscheid gemaakt tussen één, tien, honderd en duizend? Zouden er dan computers en internet zijn? Alle digitale gegevens worden immers opgebouwd uit eentjes en nulletjes.

Een soort nul  werd al toegepast door de Babyloniërs rond 450 v.Chr. Zij duidden een lege plaats in een rij met cijfers aan met twee wiggen. Het getal nul kenden ze echter niet.  Ook de Maya’s hadden de nul ontdekt, vanuit de vrees dat er ooit een einde zou komen aan de tijd. De Egyptenaren, Grieken en Romeinen gingen aan het cijfer voorbij, met als gevolg dat de christelijke tijdskalender niet zoiets heeft als het jaar nul. Wij beginnen immers met het jaar 1 (volgend op 1 voor Christus).

De oudst bekende tekst die een decimaal positiestelsel gebruikte, inclusief de nul, is een tekst uit India genaamd Lokavibhaaga, uit 458 n.Chr. Het eerst bekende gebruik van een speciale teken voor decimale cijfers met in de grond het uiterlijk van het moderne cijfer, een kleine cirkel, is te vinden op een stenen inscriptie gevonden bij de Chaturbhujatempel in Gwalior in India, daterend uit het jaar 876. 

Door het gebruik van de Arabisch-Indische cijfers werd het plotseling mogelijk om hele grote getallen op te schrijven. Met de Romeinse cijfers kon dat niet: om van één naar duizend te tellen waren al zeven tekens nodig en bij hogere getallen nog meer. In het Arabisch-Indische maximaal tien. Toch was Europa het getal nooit gaan gebruiken als het aan de Romeinen had gelegen. De Romeinse keizers wilden namelijk vasthouden aan hun eigen cijfers. Zij boden daarom fel weerstand tegen het cijfersysteem dat overwaaide uit het Midden-Oosten. Dat de 0 toch in Europa belandde, is te danken aan de Moren. Zij veroverden in de achtste eeuw na christus grote delen van het huidige Spanje en Portugal en brachten de Arabisch-Indische cijfers (0 tot 9) met zich mee. Verschillende wetenschappers, onder wie de Italiaan Fibonacci in de twaalfde eeuw, droegen vervolgens bij aan de populariteit van het cijfersysteem. 

 

Nootje 4

De  som van twee positieve gehele getallen getallen is 2019. Bewijs dat hun product nooit deelbaar is door 2019.

Antwoord Klik hier

Ontsnappingsspel: deel 2

Veronderstel nu even dat Peter wel de constante c kent waarmee hij kan ontsnappen, maar dat hij de startpositie z_0  niet kent. Dit leidt ons naar de definitie van de Juliaverzamelingen, genoemd naar de wiskundige Gaston Julia ( 1893-1978): voor een gegeven complex getal c, zullen sommige beginpunten z_0 een divergerende rij z_{n+1}=z_n^2+c genereren, terwijl andere startpunten niet-divergerende rijen voortbrengen. De Julia verzameling is de grens die de divergerende startpunten scheidt van de niet-divergerende startpunten.

Neem bijvoorbeeld c=0. Punten die binnen de eenheidscirkel liggen worden aangetrokken door de oorsprong. Punten erbuiten zullen verder en verder van de oorsprong bewegen. de Julia verzameling voor c=0 is dus de eenheidscirkel.

Enkele mooie Juliaverzamelingen zijn:

 

 

 

We kunnen ons de vraag stellen wanneer deze Juliaverzamelingen een samenhangende figuur vormen. Het waren de wiskundigen John Hubbard en Adrien Douady ( zie foto ) die vonden dat dit gebeurde voor de c-waarden die tot de Mandelbrotverzameling behoorden.

 

Fractaal ontsnappingsspel

Peter is een geheim agent die gevangen gehouden wordt door terroristen Hij heeft een ontsnappingsplan: volg de kwadratische vergelijking z_{n+1}=z_n^2+c, waarbij de vloer van zijn kamer als het complexe vlak wordt bekeken en waar hij in de oorsprong staat.  Peter kent echter de constante c niet. Voor welke waarden van c heeft hij een kans op ontsnapping?

                                                 

Proberen we eerst c = 0. Maar dan wordt, voor elke n, z_n=0 en blijft hij steeds op dezelfde plaats. Als we andere waarden van c proberen, zijn er 3 mogelijkheden:

  1. De rij z_n convergeert naar een vast punt.
  2. De rij z_n wordt herhaald in een eindige cyclus van punten en wordt een periodieke rij.
  3. De rij z_n divergeert weg van de oorsprong en Peter heeft kans op ontsnapping.

Dit verhaal is eigenlijk het verhaal van de Mandelbrot verzameling, namelijk de verzameling van alle complexe getallen c waarvoor de baan van z_{n+1 }=z_n^2+c begrensd is ( dus niet divergeert) met startpunt (0,0).