Massa punten

Massa punt meetkunde is een probleemoplossende techniek die het fysieke principe van massa centrum gebruikt om problemen met driehoeken en snijdende cevianen  op te lossen.  Al deze problemen  kunnen ook opgelost worden met behulp van gelijkvormige driehoeken , vectoren  of verhoudingen van oppervlakten,  maar de massa punt meetkunde is veel sneller dan die methoden  en  wordt dus vaker gebruikt voor wiskunde wedstrijden waarbij de tijd een belangrijke factor . 

Het idee van massa punten werd het eerst geopperd door Augustus Ferdinand Möbius in 1827.  Het sloeg niet aan en  met name Cauchy was zeer kritisch op de beschreven werkwijze. Zelfs Gauss bekende in  1843  dat hij  deze werkmethode zeer moeilijk vond. Het  idee werd opnieuw opgepikt en verder uitgewerkt rond 1960 door New York middelbare scholieren .

De methode steunt op met massa evenwicht bij een wip, geformuleerd door Archimedes.

kerstboom020

Uitleg over de methode en een paar uitgewerkte voorbeelden vind je in volgende tekst.

De stelling van Erdös en Szekeres

Gegeven is een rij van n^2+1 verschillende getallen. Hieruit kan je zeker ofwel een momotoon dalende ofwel een monotoon stijgende deelrij van n+1 elementen kiezen.

erdos

 

 

szekeres

 

 

 

 

 

 

 

Bekijken we een eenvoudig voorbeeld met n=3. We hebben dus een rij van 10 verschillende getallen en we moeten een monotoon dalende of monotoon stijgende deelrij vinden van 4 elementen.  In 2,6,13,4,8,7,3,50,25,10 zit de deelrij 2,6,8,50 die monotoon stijgend is. Met een rij van 9 elementen lukt het niet om een monotoon dalende of monotoon stijgende deelrij te vinden van 4 elementen. Neem bijvoorbeeld 7,8,9,4,5,6,1,2,3.

Als we de positie van een element in de rij als x-coördinaat en het element van de rij als y-coördinaat gebruiken kunnen we aan de stelling een meetkundige interpretatie geven: zo er is bijvoorbeeld een pad met 4 stijgende verbindingslijnen te vinden bij 17 gegeven punten:

kerstboom018