Hoger Lager

Men neemt de 10 speelkaarten van de aas tot en met de tien van een bepaalde kleur. De speler zet een bepaald bedrag in. Daarna worden de kaarten geschud en de speler legt ze één na één met de beeldzijde op tafel. Telkens als de neergelegde kaart een hogere waarde heeft dan alle voorgaande kaarten, wint de speler een vast bedrag. Bereken de kans op winst bij de k-de kaart en wat is de gemiddelde winst per spel?

Veronderstel dat het spel gespeeld wordt met zelfgemaakte kaartjes die genummerd zijn van 1 to en met n. De kans op succes met het k-de kaartje noteren we met p_k.

Om deze kans te berekenen, zoeken we eerst het aantal manieren waarop de eerste k kaarten kunnen worden neergelegd. Dit is gelijk aanzet aantal k-variaties van n , genoteerd met V(n,k). We weten dat

    \[V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\]

Daarna berekenen we het aantal mogelijkheden waarbij de k-de kaart succes geeft. Dit hangt af van de waarde w_k van de k-de kaart. Immers:

  • Als w_k<k, dan is het onmogelijk dat de k-de kaart hoger is dan alle vorige kaarten.
  • Als w_k=k, dan win je als de vorige k-1 kaarten de nummers 1 tot en met k-1 zijn. Zo zijn er (k-1)! mogelijkheden.
  • Als w_k=k+1, dan heb je succes als de vorige k-1 kaarten een nummer hebben van 1 tot en met k. Hiervan zijn er V(k,k-1) mogelijkheden.
  • We kunnen zo verder werken en vinden dat als w_k=n er V(n-1,k-1) winstmogelijkheden zijn.

Het totaal aantal gunstige mogelijkheden is dan V(k-1,k-1)+V(k,k-1)+...+V(n-1,k-1). Via inductie kan men aantonen dat deze som gelijk is aan

    \[\dfrac{n!}{k(n-k)!}\]

Het is tenslotte niet moeilijk om de kans op succes met de k-de kaart uit te rekenen. Gebruik makend van de formule van Laplace vinden we

    \[p_k=\dfrac{1}{k}\]

We merken onmiddellijk op dat dit resultaat totaal niet afhangt van het aantal kaarten waarmee het spel gespeeld wordt. Stel nu even dat je bij winst bij de k-de kaart telkens een bedrag b krijgt.  Als X de winst is per spelletje  met n kaarten, dan is de gemiddelde winst gegeven door

    \[E(X)=\sum_{k=1}^{k=n}b.\dfrac{1}{k}\]

Bij een uitkering van 5 Euro per gewonnen kaart, vind je :

n=5   E(X)=11,4
n=10   E(X)=11,6
n=15   E(X)=16,6
n=20   E(X)=18

 

 

Nootje 13

De zijden van de driehoek ABC hebben gehele getallen als lengte en de omtrek is 7. Bepaal alle mogelijke lengtes van zijde AB.

Antwoord Klik hier

5. Wiskunde in het oude China

Rond 1500 voor Christus  raakten de eerste cijfers in gebruik. De chinezen hadden karakters voor 1,2,3,… alsmede voor 10,100,1000,… Voor de nul gebruikten ze een spatie. Optellen en aftrekken gebeurde met telstokjes, gemaakt van bamboe. Voor vermenigvuldigen gebruikten ze tabellen  tot 9 maal 9.

Rond 200 voor Christus werden nagenoeg alle bestaande boeken verbrand, zodat we over de wiskunde van voor die tijd geen documenten hadden. Bij opgravingen rond 1900 werden toch wat documenten gevonden die samengesteld werden na de boekverbranding en die kunnen beschouwd worden als compilaties van de wiskundige kennis uit het verleden. De twee belangrijkste zijn :

  • Zhou Bi Suan-Jing ( de wiskundige klassieker van de gnomon en het cirkelvormig hemelpad): het behandelt ruim 250 astronomische en wiskundige problemen onder de vorm van gesprekken tussen een Chinese edelman en zijn astroloog. Het bevat één van de vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras.
  • Jiuzhang Suansu ( de negen afdelingen van mathematische kunst) :hier werden voor het eerst zowel positieve als negatieve getallen gebruikt. Er werd ook veel aandacht besteed aan magische vierkanten. De behandelde problemen zijn van praktische aard en men stelt zich meestal tevreden met het beschrijven van procedures, waarbij deductieve bewijzen ontbreken.

Euclidische getallen

Een Euclidisch getal van de eerste soort is een getal van de vorm E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n+1, waarbij p_1,...,p_n de eerste n priemgetallen voorstellen. De getallen danken hun naam aan de Griekse wiskundige Euclides, die ze gebruikte in zijn bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Stel dat er maar een eindig aantal priemgetallen zou zijn , zeg n. Noteer die dan door p_1,p_2,...,p_n. Neem dan het getal x=p_1.p_2.....p_n+1. Het getal x geeft bij deling door alle priemgetallen p_i als rest 1. Bijgevolg is x zelf ook een priemgetal, dat groter is dan alle gegeven priemgetallen. Dit is onmogelijk, dus moeten er oneindig veel priemgetallen zijn.

Zo is E_1=2+1=3, E_2=2.3+1=7, E_3=2.3.5+1=31. Dan komen 211,2311, 30031,…

  • Niet alle Euclidische getallen zijn priem. Het eerste niet-priemgetal is   2.3.5.7.11.13 = 30031 = 59 × 509 . Een open vraag is of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn.
  • Elk Euclidisch getal laat bij deling door 4 een rest gelijk aan 4 na. Dit komt omdat p_1.p_2.....p_n, juist 1 factor 2 bevat.
  • Bijgevolg kan een Euclidisch getal nooit een kwadraat zijn.
  • Voor n \geq 3 is het cijfer der eenheden van E_n altijd een 1.

Een Euclidisch getal van de tweede soort is een getal van de vorm E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n-1, waarbij p_1,...,p_n de eerste n priemgetallen voorstellen. De eerste euclidische getallen van de tweede soort zijn  1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689,… Ook hier weten we eigenlijk niet of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn. In ieder geval het eerste niet priemgetal in de rij is 209 = 11 x 19.