Aan de hand van enkele voorbeelden bespreken we Diophantische vergelijkingen: dit zijn vergelijkingen met gehele coëfficiënten waarvan gehele oplossingen gevraagd worden.

We starten in les 1 met de basisvergelijking met . Neem bijvoorbeeld .

• Omdat de grootste gemene deler van 7 en 13 gelijk is aan 1 en dit een deler is van 81, heeft deze vergelijking oplossingen.
• Volgens de stelling van Bezout kunnen we deze grootste gemene deler schrijven als een lineaire combinatie van 7 en 13. Dat kan door het recursief gebruiken van het algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler.
• Zo is   en dus is . Bijgevolg is een particuliere oplossing van de gegeven vergelijking.
• Als we nu de twee vergelijkingen en van elkaar aftrekken vinden we . Bijgevolg is 7 een deler van en 13 een deler van .
• Er bestaat dus een geheel getal t zodat

     

  en dus is en . Alle gehele oplossingen van de gegeven vergelijking zijn van deze vorm.