Tag archieven: decimale schrijfwijze

Nootje 77

Geplaatst op door

Elk natuurlijk getal van twee cijfers kan je achterstevoren schrijven. Zo kan je 23 omdraaien tot 32. Bepaal alle getallen met de eigenschap dat de som van het getal en zijn omgedraaide een kwadraat oplevert.

 

Antwoord

  • Noteer het getal als ab, met a het cijfer van de tientallen en b het cijfer van de eenheden.
  • Het omgedraaide getal is dan ba en hun som is

        \[ab+ba=10a+b+10b+a=11(a+b)\]

  • Als deze som een kwadraat moet zijn, dan moet a+b het product zijn van 11 en een kwadraat. Of a+b=11k^2.
  • Maar a en b zijn cijfers, dus a+b\leq 18 en daarom kan enkel k=1.
  • Bijgevolg is $a+b=11 en zijn de mogelijke oplossingen : 29,92,38,83,47,74,56,65

9801

Geplaatst op door

Mooie decimale schrijfwijze! Kan je dit verklaren?

Nu is \frac{1}{99}=0,01010101...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{100}. Verder is \frac{1}{9801}=\Big(\frac{1}{99}\Big)^2.

Je kan gemakkelijk narekenen dat

    \[\Big(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Big)^2=x.\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\]

Vervangen we nu hierin x door \frac{1}{99}, dan krijgen we de gewenste decimale schrijfwijze. Maar waarom ontbreekt hierin de 98?

In de uitwerking staan de som \frac{98}{100^{98}}+\frac{99}{100^{99}}\frac{100}{100^{100}}=\frac{1}{100^{100}}(980000+9900+100)=\frac{99}{100^{98}}. 

Wat gebeurt er met \frac{1}{998001} en \frac{1}{99980001}?