De parabool van Neile

In 1657 berekende de Britse wiskundige William Neile (1637-1670), als eerste de booglengte van een algebraïsche kromme:

    \[a^2x^3=y^2\]

Daarvoor kon men al wel de booglengte bepalen van transcendente krommen zoals de cycloïde en de logaritmische spiraal.

Deze kromme wordt de semikubische parabool , of parabool van Neile, genoemd, wat gemakkelijker te begrijpen valt als we deze herschrijven als y=\pm ax^{1,5}

Een parametervergelijking wordt gegeven door x(t)=t^2 en y(t)=at^3. De semikubische parabool ontstaat als evolute van de parabool. Een evolute is de meetkundige plaats van alle krommingsmiddelpunten (middelpunt van de cirkel die in het gegeven punt de kromme ‘kust’) van de gegeven parabool.

 

Fibonacci

Fibonacci, ook bekend als Leonardo Pisano, werd in 1170 geboren in Pisa,Italië. Hoewel hij in Italië werd geboren, groeide hij op en genoot hij zijn opleiding in Noord-Afrika. Zijn vader was immers diplomaat voor de republiek pissen vertegenwoordigde kooplieden die handelden via een haven in het huidige Algerije.

Omdat Fibonacci werd opgeleid in wat toen een deel van het islamitische rijk was, leerde hij werken met een veel beter getallenstelsel dan het stelsel dat toentertijd in Europa werd gebruikt. Fibonacci reisde veel en keerde in 1200 terug naar Pisa. daar schreef hij verschillende teksten, zoals liber Abaci (1202), Practica Geometrie(1220), Flos(1225) en liber quadratorum(1225). Hij overleed in 1250 in Pisa. Nu staat er een standbeeld van hem op de begraafplaats vlak bij de scheve toren van Pisa.

Practica Geometrie telt 8 hoofdstukken met meetkundige problemen gebaseerd op Euclides’ Elementen. In Flos lost hij een derdegraadsvergelijking op die Omar Khayyam al eerder oploste en hoewel de oplossing een irrationaal getal was, wist Fibonacci de oplossing te vinden, correct op 9 decimalen.

Liber quadratorum  is zijn beste boek ( alhoewel niet zo beroemd als liber abaci). Het is een tekst over getaltheorie, zonder duidelijk praktische toepassingen, maar wel fascinerend. In Liber quadratorum kijkt Fibonacci onder meer naar naar kwadraten en schrijft dat deze de som zijn van oneven getallen.Hij schrijft ook over een manier om Pythagorese drietallen te vinden: Neem een oneven kwadraat als start.  Neem vervolgens de som van alle oneven getallen tot aan het oneven getal dat in stap 1 werd gebruikt. Neem bijvoorbeeld als eerste stap 25. Dan berekenen we 1 + 3 + 5 + …+ 23=144. De som van de vorige twee resultaten is dan 25 + 144 = 169. Het gevonden Pyhagorees drietal is (5,12,13).