Maandelijks archief: mei 2024

Spiraal van Ulam

Geplaatst op door

Je kan volgend rooster van natuurlijke getallen maken in de vorm van een spiraal:

De wiskundige Stanislaw Ulam kreeg in 1963 het idee om e priemgetallen hierbij aan te duiden 

Hij zag, tot zijn verbazing, dat de priemgetallen de neiging hebben om zich op diagonalen van de spiraal te bevinden. De diagonalen zijn ook zichtbaar wanneer er heel veel getallen in een spiraal worden geplaatst. Het opvallende is, dat priemgetallen zich meer op bepaalde diagonalen bevinden dan op andere. De reden hiervoor is alsnog onduidelijk.

Een regendruppel…

Geplaatst op door

Een regendruppel met massa m valt onder invloed van de zwaartekracht en ondervindt een wrijving die recht evenredig mag genomen worden met de snelheid v. Bereken de snelheid in functie van t.

  • Volgens de wetten van Newton is de kracht waaraan de regendruppel onderhevig is: F=m.a , waarbij a de versnelling is van de druppel.
  • Deze kracht F is de resultante van de zwaartekracht F_1=m.g en de wrijving F_2=-k.v, waarbij k een evenredigheidsfactor is.
  • Dus

        \[m.a=m.g-kv\]

  • Nu weten we dat a=v'. Bijgevolg is m.v'=m.g-k.v.
  • We kunnen dit herschrijven als \frac{dv}{m.g-kv}=\frac{dt}{m}.</li> <li>Als we beide kanten integreren krijgen we :-\frac{1}{k}\ln (m.g-k.v)=\frac{t}{m}+c, waarbij c de integratieconstante voorstelt.</li> <li>Uitwerken geeft:m.g-k.v=A.e^{-\frac{kt}{m}.</li> <li>Alst=0, veronderstellen we datv=0. Hieruit vinden we datA=m.g$.
  • Vullen we dit in en lossen we op naar v, dan vinden we uiteindelijk

        \[v=\frac{m.g}{k}\Big( 1-e^{-\frac{kt}{m}\Big)\]

  • We zien dat na zekere tijd de regendruppel mat praktisch constante snelheid zal vallen.