Deelbaarheid bij veeltermen

We geven enkelen eigenschappen in verband met deelbaarheid bij veeltermen. Deze eigenschappen lijken op de deelbaarheidseigenschappen bij gehele getallen:

  • Voor twee veeltermen f(x) en g(x) bestaat er een uniek quotiënt q(x) en een unieke rest r(x) zodat f(x) = q(x) . g(x) + r(x) met gr(r(x)) < gr (g(x)).
  • De rest van de deling van f(x) door x – a is f(a). Deze eigenschap noemen we de reststelling. Dit levert meteen een criterium voor deelbaarheid door veeltermen van de vorm x – a: de veelterm f(x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.
  • Als a en b verschillend zijn dan is f(x) deelbaar door (x – a)(x – b) als f(a) = f(b) = 0.
  • De veelterm f(x) is deelbaar door (x-a)^k als a een nulpunt is van f(x) en de eerste k – 1 afgeleiden van f(x). We spreken dan van een k- voudig nulpunt.
  • Er bestaan veeltermen die elkaar wederzijds delen, we noemen deze  toegevoegde elementen. Zo zijn alle reële getallen verschillend van 0 toegevoegd aan 1. De elementen toegevoegd aan 1 noemen we eenheden. Het is duidelijk dat toegevoegde elementen slechts verschillen van een factor gelijk aan een eenheid.
  • Zijn f(x) en g(x) van nul verschillende veeltermen dan bestaat er onder de toegevoegde elementen  van hun ggd (kgv) precies 1 waarvan de hoogste graadsterm coëfficiënt 1 heeft. Deze unieke veelterm wordt weleens dé ggd(kgv) van f(x) en g(x) genoemd.
  • Voor elk tweetal veeltermen f(x) en g(x) bestaan er veeltermen p(x) en q(x) zodat ggd( f(x) , g(x) ) = p(x) . f(x) + q(x) . g(x). Dit is de eigenschap van Bezout.
  • Een veelterm, verschillend van nul en van een eenheid, waarvan de enige delers eenheden of toegevoegde elementen zijn, noemen we een irreduciebele veelterm. Deze veeltermen zijn dus niet ontbindbaar is allemaal factoren van een lagere graad. De enige irreduciebele veeltermen in \mathbb{R}\left[x \right] zijn de eerste graads veeltermen en de tweedegraads veeltermen met een negatieve discriminant.
  • Een veelterm f(x) , verschillend van nul en van een eenheid, is een priem veelterm als voor alle veeltermen g(x) en h(x) geldt dat uit  f(x) | g(x).h(x) volgt dat f(x) | g(x) of f(x) | h(x). Voor reële veeltermen is priem veelterm een synoniem voor irreduciebele veelterm.
  • Elke van nul verschillende veelterm bezit een unieke ontbinding ( op toegevoegde elementen na).
  • Als \frac{p}{q} een rationaal nulpunt is van een veelterm met gehele coëfficiënten dan deelt p de coëfficiënt a_0 en q deelt a_n in \mathbb{Z}.

Nootje 9

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan \frac{1}{\sqrt{3}}.

Antwoord Klik hier

Veeltermfuncties

De veelterm a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n met coëfficiënten in een getallenverzameling K, kan voorgesteld worden door de rij van de coëfficiënten (a_0,a_1,\cdots,a_n,0,0,\cdots) : een oneindige rij met een eindig aantal elementen verschillend van 0. Twee veeltermen zijn gelijk als de overeenkomstge rijen term gewijze gelijk zijn.

Met een veelterm kan je ook een veeltermfunctie associëren: f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n. Twee functies zijn gelijk als ze voor elk element van K hetzelfde beeld hebben.

Het is evident dat twee gelijke veeltermen gelijke veeltermfuncties bepalen, maar het omgekeerde niet; m.a.w. het is niet evident dat verschillende veelterm verschillende veeltermfuncties bepalen. Neem bvb. K=\mathbb{Z}_3=\{0,1,2\} ( we werken dus modulo 3). Nu zijn x en x^3 verschillende veeltermen want x=(0,1,0,0,...) en x^3=(0,0,0,1,0,0,...), terwijl de functies f(x)=x en g(x)=x^3 beide gelijk zijn aan \{(0,0),(1,1),(2,2)\}. Want 2^3=8 \equiv 2 \mod 3.

Voor K=\mathbb{R} kan men aantonen dat twee veeltermen gelijk zijn als en slechts als de overeenkomstige veeltermfuncties gelijk zijn.

Opgave 28

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2019 kan men construeren?

Antwoord Klik hier

Een driehoek is gelijkbenig als…

Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn, dan is die driehoek gelijkbenig. Dit is zeer eenvoudig te bewijzen via congruente driehoeken.

Een driehoek is ook  gelijkbenig als er twee even lange zwaartelijnen zijn. Dit bewijs is al iets moeilijker: Stel AD=BE, de 2 gelijke zwaartelijnen.

ED is een  middenparallel en dus evenwijdig met AB. Construeer F zodat FADE een parallellogram is. Dan is FEB gelijkbenig en is \widehat{EFA}=\widehat{EBA}=\widehat{DAB}. Bijgevolg zijn driehoek DAB en driehoek EAB congruent en zijn de hoeken in driehoek ABC gelijk. Dus is driehoek ABC gelijkbenig.

De zaak wordt nog wat complexer als we werken met twee bissectrices. Het bewijs danken we aan de, Zwitserse wiskundige Jacob Steiner ( 1796-1863) en gaat als volgt:

  • Neem AD en BE de gelijke bissectrices.
  • Construeer F zodat ADFE een parallellogram is. Dan is EF=AD=BE.
  • Veronderstel dat \hat{A} \leq \hat{B}.
  • Dan is \widehat{DAE} \leq \widehat{EBD} en dus ook \widehat{DFE} \leq \widehat{EBD}.
  • Omdat driehoek EFB gelijkbenig is, zal  \widehat{DFB} \geq \widehat{DBF}.
  • Tegenover een grotere hoek staat een grotere zijde in een driehoek, dus DB \geq DF of DB \geq EA.
  • Als nu 2 driehoeken 2 paar zijden gelijk hebben en de derde zijde is verschillend, zal tegenover een grotere zijde een groter hoek staan. Bijgevolg is \widehat{DAB} \geq \widehat{EBA}.
  • Of na verdubbeling \hat{A} \geq \hat{B}. Maar dan is \hat{A} = \hat{B}.
  • Dezelfde redenering kunnen we voeren als we starten met de voorwaarde \hat{A} \geq \hat{B}.
  • Bijgevolg is driehoek ABC gelijkbenig.