2.De beschavingen van de riviervalleien

Ongeveer 10000 jaar geleden veranderde de Neolithische revolutie voor altijd de interactie tussen de mens en de wereld om ons heen door de invoering van het basis ingrediënt dat beschaving mogelijk maakt: de landbouw.

Voorafgaand aan de Neolithische agrarische revolutie, leefden de mensen ​​als jager-verzamelaars, constant in beweging om zichzelf te voeden. Ze waren georganiseerd in kleine nomadische groepen, meestal van rond de twintig tot dertig mensen. Ze waren niet in staat om in grote populaties te leven vanwege hun beperkte voedselvoorziening en de noodzaak om te blijven bewegen.

De Neolithische agrarische revolutie vond zijn oorsprong in het Midden-Oosten, waarschijnlijk vanwege het gunstige klimaat. Maar na verloop van tijd werd de landbouw verspreid naar andere vruchtbare gebieden rond rivieren, zoals Egypte rond de Nijl en de Indus vallei.

De voornaamste reden was de beschikbaarheid van water. grote hoeveelheden water en vruchtbare grond, bevorderd door regelmatige overstromingen, zorgden voor overvloedige landbouwproductie en niet alle beschikbare arbeid moest voor de landbouw worden gebruikt. Zo was het voor sommige leden van de gemeenschap mogelijk andere activiteiten te beoefenen, zoals bouw, handel of administratie.

Het is duidelijk dat hierdoor een sterke behoefte ontstond aan het beoefenen van activiteiten zoals meten en vergelijken van hoeveelheden, die noodzakelijk werden om handel te drijven, opmeten van landerijen vereist om eigendommen te verdelen en de studie van de bewegingen van zon, maan en planeten die leidden  tot het berekenen van een kalender en het bepalen van seizoenen. Deze activiteiten werden uiteraard sterk bevorderd door wiskundig denken.

Waar ligt de horizon

Als we kijken naar de horizon, volgt onze blik een richting die raakt aan de aardbol.

De raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt. De afstand A van ons oog naar de horizon is dus gemakkelijk te berekenen via de stelling van Pythagoras: A^2=(R+h)^2-R^2. Hieruit volgt dat : 

    \[A=\sqrt{h^2+2Rh}\]

De aardstraal is ongeveer 6371 km. Omdat de ooghoogte h verwaarloosbaar is ten opzichte van R, kunnen we volgende benadering geven:

    \[A\approx 112,88 \sqrt{h}\]

Voor h=1,75m vinden we A=4,7 km.

De Möbius band

 

Laten we het eens hebben over deze ‘rare’ figuur.

Neem  een rechthoekige strook papier:

Door de uiteinden aan een te plakken ( uiteinde A aan uiteinde A) krijgen we een cilinder:

Deze cilinder heeft twee randen: een bovenrand en een onderrand en verder een binnen oppervlak en een buiten oppervlak. Deze worden als aparte objecten bekeken ( zie stippellijn en volle lijn). Van de binnenzijde kom je naar de buitenzijde via een rand.

Je kan de strook echter ook op een andere manier aan elkaar lijmen ( uiteinde A aan uiteinde B):

Er is nu geen boven of onderkant. Deze figuur heeft maar 1 kant en 1 zijde. We noemen deze figuur de Möbiusband naar de Duitse wiskundige August Möbius(1790-1868).

Het bestuderen van dergelijke figuren maakt deel uit van de topologie, een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen  die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). Anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie.

 

1. Vroegste sporen van wiskundig denken

Het is onmogelijk te bepalen wanneer de primitieve mens vertrouwd geraakte met basis begrippen zoals hoeveelheden en vormen. Het staat wel vast dat ruim 30000 jaar geleden de mens reeds  verder dacht dan de hoeveelheden één, twee en meer. Hij toonde ook interesse is regelmatig weerkerende verschijnselen zoals de opeenvolging van de dagen, de maanfasen of de wisseling van de seizoenen.

De primitieve mens vertrok uit Afrika om de rest van de wereld te bevolken. Een aantal ‘bewijzen’ van hun eerste wiskundig denken:

  • Het Lebombo beentje: Het is een gekerfd beentje, gedateerd op ca. 35.000 jaar v.Chr. Het werd gevonden in het Lebombo gebergte ergens tussen  Zuid-Afrika en Swasiland.  Het vertoont overeenkomsten met de kalenderstokjes . Het geeft niet aan dat de mensen in staat waren om te rekenen, maar wel om te tellen en een bepaalde cyclus te achterhalen.
  • Het Ishango beentje: Het werd gevonden nabij Ishango ( Belgisch Congo) en is ongeveer 22000 jaar oud. Men vermoedt dat het om telstokjes gaat, waarbij basis 6 en 10 worden gebruikt.
    De eerste kolom geeft alle priemgetallen tussen 10 en 20. Totale som 60. De som van de tweede kolom is 48 en van de derde is terug 60. In d ederde kolom komen de getallen voor die 1 verschillen van een tiental: 9,11,19 en 21.
  • Rotsschilderingen  tonen de mogelijkheid van de primitieve mens om ongeveer 35000 jaar geleden figuratieve en abstracte vormen weer te geven.

Telescopische som

Eén van de technieken bij problem-solving bestaat eruit het probleem van een andere kant te bekijken of een eenvoudiger probleem te nemen. Illustreren we dit even met volgend probleem: Vereenvoudig:

    \[\sum_{n=1}^{2020}\tan n\tan(n+1)\]

  • We gaan het product herschrijven als een som zodat bij het sommeren van al die termen ze één voor één tegen elkaar wegvallen , op de eerste en laatste na.
  • Gebruik hiervoor de formule voor het berekenen van de tangens van een verschil: \tan((n+1)-n)=\tan 1=\frac{\tan(n+1)-\tan n}{1+\tan(n+1)\tan n}.
  • Hieruit volgt dat \tan n\tan(n+1)=\frac{\tan (n+1)-\tan n }{\tan 1}-1
  • Invullen in de opgave geeft :

        \[\frac{\tan 2020-\tan 1}{\tan 1}-2020=\frac{\tan 2020}{\tan 1}-2021\]