Sangaku 5

Deze sangaku werd beschreven op een tablet van de Miyagi Prefecture uit 1912

 

Antwoord Klik hier

Voetbal

 

Op een voetbal komt een netwerk van bogen voor, die de oppervlakte van de bal verdelen in een aantal gebieden. Sommige van die gebieden worden door vijf bogen begrensd en zijn dus vijfhoekig van vorm; de rest van de gebieden is zeshoekig. Bij elk knooppunt van het netwerk komen drie gebieden samen; twee daarvan zijn zeshoekig en het derde is vijfhoekig. De vijfhoekige gebieden zijn zwart en de zeshoekige zijn wit. Elk vijfhoekig gebied omgeven wordt door een krans van vijf zeshoekige gebieden. 

Noemen we het aantal knooppunten V ( vertrices), E het aantal bogen (edges) en F het aantal gebieden (faces). Euler zegt dat

    \[V-E+F=2\]

  • Stel x het aantal vijfhoeken en y het aantal zeshoeken. Er zijn dus 5x , maar ook 6y knooppunten ( want in elk hoekpunt komen 2 zeshoeken samen). Bijgevolg is y=\frac{5}{3}x.
  • Alle vijfhoeken en zeshoeken hebben samen 5x + 6y = 5x + 10x= 15x zijden. Bij elke boog van het netwerken vallen twee zijden samen dus E=\frac{15}{2}x.
  • Het aantal gebieden wordt gegeven door F=x+y=\frac{8}{3}x .

De formule van Euler voor veelvlakken wordt nu : 5x-\frac{15}{2}x+ \frac{8}{3}x=2 of x=12

Onze voetbal is dus opgebouwd uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken, dus 32 zijvlakken; Verder zijn er 60 knooppunten en 90  bogen.

In de wiskunde noemt men deze figuur : de afgeknotte isocaëder.

 

 

 

Gedicht

Ter gelegenheid van gedichtendag:

Ach, zijn hotel, wat was Hilbert toch blij
Oneindig veel kamers, geen enkele vrij
Maar toen klopte plots iemand aan en die zei:
Hebt u misschien nog een kamer voor mij?

Jazeker, zei hij, de rest schuift gewoon op
En als ze weer binnen zijn na dit karwei,
Neemt u kamer 1, die is leeg en dichtbij
Ach, zijn hotel, wat was Hilbert toch blij
Oneindig veel kamers, geen enkele vrij

Net toen de kalmte was wedergekeerd,
Schrok Hilbert op van een driftig geklop
Hij werd met een troep nieuwe gasten vereerd
Staand voor de deur, een oneindige rij
Goddank had hij vroeger tafels geleerd
Hij gaf al zijn gasten een kamer nabij
In hun kamer maal twee werden zij geparkeerd,
De oneven kamers, die kwamen zo vrij
Door de rij voor de deur werd dit zeer gewaardeerd
Het einde was zoek, toch kon ieder erbij

Fenna van der Grient

Griekse wiskunde: deel 4

De  4de eeuw voor  Christus: bloeiperiode van de wiskunde. De tijd van Plato en Aristoteles.

We beperken ons tot een overzichtelijke samenvatting van de wiskundige werken, waaruit de krachtlijnen van de onderzoeken zouden moeten blijken. De meeste bijdragen halen een hoog wetenschappelijk niveau en de bewijzen zijn niet alleen wiskundig streng maar getuigen ook van een grote denkkracht en een rijke creativiteit. In het filosofisch stelsel van Plato wordt de wiskunde verheven tot de kunst van het exact redeneren over louter abstracte begrippen, die dus los dienen te staan van elke zintuigelijke waarneming.

  • de  irrationale getallen: Theaetetus (414-370 v.C.), vriend van Plato en Socrates,  stelt in een samenspel tussen meetkunde en getallenleer een classificatie op van 13 irrationaliteiten en bewees ook dat de verzameling irrationale getallen oneindig is.
  • de bekende wiskundige van deze tijd was Eudoxos van Cnidus (405-315 v.C.) .  Hij werkte vooral rond de gulden snede, de doorsnede van krommen en de verdubbeling van een kubus .Hij heeft eveneens ontdekt dat de verhouding van het volume van een piramide ten opzichte van een prisma op hetzelfde grondvlak een op drie is. 
  • De exhaustie methode : het geniale antwoord van Eudoxos op de paradoxen van Zeno. Heeft me, 2 ongelijke grootheden van een zelfde soort, dan kan steeds een natuurlijk getal gevonden worden dat met hun verschil vermenigvuldigd, elke gegeven grootheid van die soort overtreft. Hiermee bewees hij bvb. dat de oppervlakten van twee cirkels zich verhouden als de kwadraten van hun stralen.
  • De 5 regelmatige veelvlakken ( platonische lichamen) , veelvlakken die begrensd zijn door een aantal congruente regelmatige veelhoeken: tetraëder, kubus, dodecaëder, octaëder en de isocaëder. De drie eersten waren reeds bekend aan de Pythagoreeërs. Het was Theaetetus die de laatste twee ontdekte en een nauwkeurige beschrijving gaf van de constructie en de berekening van de ribben in functie van de straal van de omgeschreven bol.
  • Het bestuderen van de 3 grote problemen ( driedeling hoek, verdubbeling kubus en kwadratuur van de cirkel) leidde tot de studie van speciale krommen: de kwadratix ( Hippias van Elis , rond 420 v.C.), de kegelsneden ( Menaechmus rond 350 v.C.)
  • Er ontstond meer en meer de noodzaak om de volledige wiskundige kennis te ordenen tot een samenhangend geheel. Hippochrates van Chios zou de samensteller zijn van de eerste zogenaamde Elementen.  Van hem zijn ook  de maantjes van Hippocrates

Topologie

Topologie is een veralgemening van de meetkunde. Het woord is afgeleid   van het Grieks topos(plaats) en logos (studie). Het is een onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met eigenschappen in de n-dimensionele ruimte , die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De term ‘topologie’ werd geïntroduceerd in 1847 door de Duitse wiskundige John Benedict Listing ( 1808-1892) in zijn werk Vorstudien zur Topologie . Listing was een leerling van Carl Friedrich Gauss.

In de beginperiode noemde men ‘ deze wiskunde’ : analysis situs, analyse van de positie. Rubbermeetkunde is een betere omschrijving van wat topologie eigenlijk betekent .

In topologie beschouwt men twee objecten als hetzelfde (homeomorf) als de ene continu vervormd kan worden tot de andere: uitrekken zonder  echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken.

In de praktijk zijn continue vervormingen echter moeilijk te beschrijven. Er bestaat een andere methode om te zien wanneer twee objecten niet-homeomorf zijn. Hierbij maakt men gebruik van de Euler karakteristiek of de Poincaré-Euler karakteristiek: een geheel getal dat de  essentie van de vorm van een topologische ruimte weergeeft. 

De Eulerkarakteristiek wordt genoteerd door \chi. Noteer met h het aantal hoekpunten, met r het aantal ribben en met v het aantal zijvlakken van een figuur.

  • Voor figuren zoals de cirkel is \chi= h-r.
  • Voor figuren zoals een bol is \chi=h-r+v.

Voor een kubus ( en elk ander Platonisch veelvlak ) is \chi=2, want een kubus heeft 8 hoekpunten, 12 ribben en 6 zijvlakken: 8-12+6=2.

Voor de drievoudige torus kan men aantonen dat \chi=-4.

 

Het berekenen van de Euler karakteristiek gebeurt via triangulatie, waarop we hier niet verder ingaan. Belangrijk is om te weten dat, als figuren homeomorf zijn, hun Euler karakteristieken dezelfde zijn of door contra positie: als de Euler getallen verschillend zijn , dan zijn de figuren niet homeomorf.