Even en oneven elementen

Hoe groot is de kans dat bij een permutatie van \{1,2,...,n\} geen 2 even elementen en geen 2 oneven elementen naast elkaar staan?

Of anders geformuleerd: Er zijn in een gezelschap een aantal jongens en een aantal meisjes. Ze moeten op 1 rij gaan staan. Hoe groot is de kans dat geen twee jongens of twee meisjes naast elkaar gaan staan?

  • Het totaal aantal permutaties van n elementen is n!.
  • Als n even is ( n = 2m) zijn er evenveel jongens als meisjes. Er zijn twee mogelijke schikkingen JMJM… of MJMJ…; Bij elk van de mogelijkheden kan je de jongens op m! manieren ordenen en ook de meisjes op m! manieren rangschikken. Het totaal aantal mogelijkheden is dus 2.m!.m!
  • Als n oneven is (n = 2m – 1) zijn er bijvoorbeeld m – 1 jongens en m meisjes. in dit geval kan je enkel MJM…krijgen en zijn er dus in het totaal (m-1)!.m! mogelijkheden.
  • Noteer met P(n) de kans dat geen twee jongens of twee meisjes naast elkaar gaan staan bij n personen. Als n = 2m, dan is

        \[K(2m)=K(2m-1)=\frac{m!}{m(m+1)...(2m-1)}\]

  • Zo is K(1)=K(2)=1; K(3)=K(4)=33,3% ; K(5)=K(6)=10% ; K(7)=K(8)=2,86% en K(9)=K(10)=0,79%

Op welk cijfer eindigt…

Wat is de rest bij deling door 10 van het 2022ste getal in de rij  

    \[3,3^3,3^{3^3},...\]

  • De gegeven rij kan ook gegeven worden door middel van een recursief voorschrift: t_1=3 en t_{n+1}=3^{t_n}.

  • Berekenen we een paar termen van de rij: 3 , 27 , 7625597484987. We zien dat ze zeer snel toenemen in grootte, maar we hebben wel al 2 keer een 7 achteraan. Zou dat een patroon zijn?
  • Elke term is een viervoud plus 3, want t_n=(4 voud -1)^{t_{n-1}} en omdat elke term in de rij oneven is is t_n dus een 4voud min 1, of met anders geformuleerd : een drievoud plus 3.

  • Dan is t_{n+1}=3^{4v+3}=3^3.3^{4v}=27.81^v.
  • Werken we nu modulo 10: t_{n+1}\equiv 7.1^v\equiv 7.
  • Dus elke term van de rij eindigt op 7, dus ook de 2022ste term.

De klok

Kunnen de drie wijzers van een uurwerk onderling twee aan twee hoeken van 120 graden vormen?

  • Noteer het tijdstip als x. Dit is een reëel getal. De kleine wijzer staat dan op 30x mod 360. graden, want na 1 uur heeft deze wijzer 30 graden afgelegd. De grote wijzer staat dan op 360x mod 360 graden, vermits er 60 minuten in een uur zijn. Omdat er 60 seconden in een minuut zijn , zal tenslotte de secondewijzer op 21600x mod 360 graden staan.
  • Het vraagstuk herleidt zich tot een volgend stelsel (telkens mod 360 genomen):

        \[30x-360x=120\]

        \[360x-21600x=120\]

        \[21600x-30x=120\]

  • Het kan ook het volgende  stelsel geven:

        \[360x - 30x=120\]

        \[21600x-360x=120\]

        \[30x-21600x=120\]

  • We bespreken enkel het eerste stelsel; het tweede geval verloopt analoog.
  • Na vereenvoudiging krijgen we :

        \[x=\frac{4}{11}(\mod \frac{12}{11})\]

        \[x=\frac{1}{177}(\mod \frac{3}{177})\]

        \[x=\frac{8}{719}(\mod \frac{12}{719})\]

  • Dus

        \[x=\frac{4}{11}(1+3k)=\frac{1}{177}(1+3l)=\frac{4}{719}(2+3m)\]

  • Maar dan moet  

        \[4.177.719(1+3k)=11.719(1+3l)\]

  • Dis  is onmogelijk want het eerste lid is een drievoud en het tweede niet!
  • De drie wijzers kunnen dus nooit twee aan twee een hoek van 120 graden vormen.

Omzetting mijlen naar kilometer

1 mijl( = 1 mi ) is 1,609344 km, wat dicht bij het gulden getal \varphi =1,618 ligt. De waarde van \varphi wordt benaderd door de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Daarom kan je voor de omzetting van mijlen naar kilometer en omgekeerd gebruik maken van opeenvolgende Fibonacci getallen, met vrij grote nauwkeurigheid.