Nootje 48

Geplaatst op 17 mei 2024 door admin

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Antwoord

De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van $1989=3^2.13.17$ .
De delers van 1989 zijn: $1,3,9,13,17,39,51,117,153,221,663,1989$ .
Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:
$\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}$
Noteer $S=a+b$ en $P=a.b$ , dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking
$x^2-Sx+P=0$
$S=89+c$ ; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant $S^2-4P$ een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
Voor $c=1$ is $S=90$ en $P=1989$ . In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat $a=39$ en $b=51$ .
Voor $c=1$ krijgen we dus als oplossingen de drietallen $(39,51,1)$ en $(51,39,1)$ .
Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan $(1,39,51),(1,51,39),(39,1,51),(51,1,39)$ .

Geplaatst op 17 januari 2024 door admin

Antwoord

Wat de volgorde van de zijden is, steeds moet minstens aan één zijde met lengte 7 een zijde met lengte 20 aanliggend zijn. Noem de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 20 eenheden 2a en de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 7 eenheden 2b.
Door het apothema te trekken op de zijden van de zeshoek vinden we dat $\sin a=\frac{10}{r}$ en $\sin b=\frac{3,5}{3}$ .
De som van alle middelpuntshoeken is $360^\circ$ , dus $2*2b+4*2a=360^\circ$ . Hieruit volgt dat $b+2a=90^\circ$ .
Dan geldt er dat $\sin b=\cos 2a=1-2\sin^2 a$
Volgens een vorig punt is dus $1-2\sin^2 a=\frac{3,5}{r}$ . Of
$1-2\Big(\frac{10}{r}\Big)^2=\frac{3,5}{r}$
Dit geeft een vierkantsvergelijking: $2r^2-7r-400=0$
De enige positieve oplossing van deze vergelijking is 16.
De straal is 16 eenheden lang.

Geplaatst op 14 augustus 2020 door admin

Antwoord

Als x positief is wordt de eerste vergelijking $x^2-3x+2=0$ . De oplossingen hiervan zijn 1 en 2.
Als x negatief is wordt de eerste vergelijking $x^2+3x+2=0$ . De oplossingen hiervan zijn – 1 en – 2.
Een veeltermvergelijking met oplossingen 1,2,-1,-2 is van de vorm $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0$ of $(x^2-1)(x^2-4)=0$ .
Uitgewerkt geeft dit $x^4-5x^2+4=0$ , zodat $a=5$ .