Delers en priemgetallen

De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder , van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk onder de verzameling van de natuurlijke getallen te verstaan de verzameling \mathbb{N}=\left\{1,2,\cdots \right\}, 0 wordt dan dus niet tot \mathbb{N} gerekend.

Een getal a is een deler van b als er een geheel getal n bestaat waarvoor geldt dat b=a.n. We noteren a|b . We noemen b dan een veelvoud van a.

Bij elk tweetal natuurlijke getallen a en b bestaan er gehele getallen q ( voor quotiënt ) en r ( voor rest ) zo , dat

    \[b=q.a+r \qquad \hbox {met} \qquad 0\leq r < a\]

Een natuurlijk getal, groter dan 1, dat geen delers heeft buiten 1 en zichzelf noemt men een priemgetal. Een getal, groter dan 1, dat geen priemgetal is heet een samengesteld getal. Het getal 1 is dus per definitie noch priem noch samengesteld.

Een paar eigenschappen :

  • Elke deler van a en b deelt ook elke lineaire combinatie ( ra+sb ) van a en b.
  • Er zijn oneindig veel priemgetallen.
  •  Als p een priemgetal is dat a.b deelt, dan deelt p ofwel a ofwel b.

priem