Tag archieven: restklassen

Les 5: Diophantische vergelijkingen en modulo rekenen

Geplaatst op door

Als twee gehele getallen gelijk zijn, dan zijn hun resten bij deling door een zelfde natuurlijk getal, verschillend van nul, ook gelijk. Of via contrapositie: als er tenminste 1 natuurlijk getal n bestaat waarvoor a \neq b \mod n, dan zal ook a verschillend zijn van b.

Proberen we eens met

    \[2x^2-3y^2-9463=0\]

  • Herschrijf tot 2x^2-3y^2=9463.
  • We bepalen de resten van beide leden bij deling door 3: 2x^2-3y^2\equiv 9463 \mod 3.
  • Of 2x^2\equiv 1 \mod 3.
  • Het inverse element, modulo 3, van 2 is 2 zelf, dus kunnen we vorige  vergelijking herschrijven als

        \[x^2\equiv 2 \mod 3\]

  • Nu is 2 geen kwadraatrest modulo 3, want 0^2=0,1^2=1 en 2^2=1.
  • Bijgevolg heeft de gegeven vergelijking geen oplossingen.