veeltermvergelijking | Wiskunde is leuk

Vind alle niet complexe oplossingen van
$(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10$

Antwoord

Alles uitrekenen geeft een vierdegraadsvergelijking, die waarschijnlijk niet op te lossen is.
We gaan de factoren in het linkerlid twee per twee uitrekenen: de eerst met de laatste en de twee middelsten.
De opgave wordt dan: $(15x^2+8x+1)(60x^2+32x+1)=10$ .
We merken op dat de twee eerste termen van de tweede factor het viervoud zijn van de eerste twee termen van de eerste factor. Stel $15x^2+8x=y$
We krijgen dan $(y+1)(4y+1)=10$ of na uitwerken $4y^2+5y-9=0$ .
Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossingen 1 en $-2,25$ .
Vervangen we y terug dan verkrijgen we twee vergelijkingen van de tweede graad. De eerste $15x^2+8x-1=0$ geeft als oplossingen $\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}$ .
De tweede vergelijking wordt $15x^2+8x+2,25=0$ en deze heeft geen reële oplossingen.
De enige niet complexe oplossingen zijn dus
$\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}$