Waar ligt de horizon

Als we kijken naar de horizon, volgt onze blik een richting die raakt aan de aardbol.

De raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt. De afstand A van ons oog naar de horizon is dus gemakkelijk te berekenen via de stelling van Pythagoras: A^2=(R+h)^2-R^2. Hieruit volgt dat : 

    \[A=\sqrt{h^2+2Rh}\]

De aardstraal is ongeveer 6371 km. Omdat de ooghoogte h verwaarloosbaar is ten opzichte van R, kunnen we volgende benadering geven:

    \[A\approx 112,88 \sqrt{h}\]

Voor h=1,75m vinden we A=4,7 km.

Pythagorese drietallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat

    \[a^2+b^2=c^2\]

Deze afbeelding heeft een leeg alt-attribuut; de bestandsnaam is pyt1.png

Zo zijn (3,4,5) en (5,12,13) allebei Pytagorese drietallen.
Het is duidelijk dat als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dat dan ook (ad,bd,cd) een Pythagorees drietal is. Oplossingen van a^2+b^2=c^2 die relatief ondeelbaar zijn, noemen we primitieve Pythagorese drietallen. Hiervoor kennen we volgend resultaat:


Als m en n relatief ondeelbare postieve gehele getallen zijn met m>n en waarbij één ervan even is en de andere oneven, dan vormen  a=m^2-n^2, b=2mn en c=m^2+n^2 een primieteve oplossing van a^2+b^2=c^2. Bovendien geldt dat elke primitief Pythagorees drietal van die vorm moet zijn, op een mogelijke permutatie van a en b na.

Opgave 6

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt :
Antwoord Klik hier

Bevriende getallen

 

Een voorbeeld  van een combinatie  van de getalmystiek van Pythagoras met harde wiskunde, zijn de  bevriende getallen.

De Pythagoreeërs hechtten veel waarde aan vriendschap. Pythagoras zou volgens een latere schrijver gezegd hebben: “Wat is een vriend? Een ander ik, zoals gesymboliseerd wordt door de getallen 220 en 284” .

delers van 220 zijn(behalve 220 zelf) : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110

de som van de delers van 220: 1+2+4+5+10+11+20+44+55+110=284

delers van 284 zijn (behalve 284 zelf) : 1, 2, 4, 71, 142

De som van de delers van 284: 1+2+4+71+142=220

De vraag rijst of er nog meer paren bevriende getallen dan het paar 220, 284 dat in de oudheid bekend was. In de negende eeuw vond een Arabisch wiskundige een formule voor bevriende getallen, en met behulp daarvan een tweede paar 17296, 18416. Het volgende paar 9.363.584, 9.437.056 werd in Perzië gevonden omstreeks 1600. Tegenwoordig zijn er zo’n 50.000 paren bevriende getallen bekend.

In diverse Arabische teksten wordt een magische toepassing hiervan beschreven. Als je een goede relatie met iemand wil opbouwen, moet je een stukje papier nemen en daarop de getallen 220 en 284 schrijven. Daarna moest je dat in twee stukken scheuren, het ene stuk met het ene getal zelf opeten, en het andere heimelijk door het voedsel van die ander doen zodat hij of zij het andere getal naar binnen krijgt zonder het zelf te weten. Dit zal een positief effect hebben op de relatie. Het effect wordt volgens sommige auteurs nog sterker als je de getallen opschrijft op het moment dat Venus aan de oostelijke horizon opgaat, of een gunstig aspect maakt met de maan.

bevriende getallen

 

 

 

Pythagorese drietallen en complexe getallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat a^2+b^2=c^2. Zo is (3,4,5) een Pythagorees drietal omdat 3^2+4^2=5^2De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.

piet

Een Pythagorees (a,b,c)  drietal heet primitief als de grootste gemene deler van a,b en c gelijk is aan 1. Zo is (3,4,5) primitief , maar ( 6,8,10) niet.

Wat hebben complexe getallen hiermee nu te maken? Neem een complex getal z = a+ bi met a en b geheel. We spreken dan van een complex geheel getal.  Definieer de norm N(z) van het complex getal als N(z) = a^2+b^2. Het is duidelijk dat de norm multiplicatief is, m.a.w. N(z.w)=N(z).N(w). Maar dan is

    \[N(z^2)=(N(z))^2\]

De betrekking a^2+b^2=c^2 kan je dus herschrijven als N(z)=c^2 met z=a+bi. We zijn dus op zoek naar complexe gehele getallen waarvan de norm een volkomen kwadraat is. Maar bovenstaande formule leert ons dat de norm van een complex getal een volkomen kwadraat is als het zelf een volkomen kwadraat is. Om een Pythagorees drietal te construeren, nemen we dus een willekeurig complex geheel getal en kwadrateren we dit getal. Dit kwadraat zal een complex getal  zijn a+bi zijn, waarvan de  norm N(a+bi)=a^2+b^2 een volkomen kwadraat is.

Neem bijvoorbeeld het complex getal 2+i. Dan is (2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i. De norm van dit kwadraat is 3^2+4^2=25 . Hiermee correspondeert het Pythagorees drietal ( 3,4,5).

Vertrekken we algemeen van het complex geheel getal z=x+yi. Kwadrateren we z:  (x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi. De norm hiervan is (x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2 Zo krijgen we de gekende formule voor een willekeurig Pythagorees drietal

    \[(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)\]

Als  x en y onderling ondeelbaar zijn , dan is het zo gevormde  Pythagorees drietal primitief. Bijgevolg hebben we aangetoond dat met deze constructie via kwadraten van complexe gehele getallen x+yi met x en y onderling ondeelbaar, elk primitief Pythagorees drietal kan worden verkregen.