Stelling van Pythagoras

Deze tekst is gemaakt door Joran Deschagt, leerling van 6WEWI uit het H.Drievuldigheidscollege in Leuven.

 

    \[a^2+b^2=c^2\]

Iedereen kent de stelling dat in een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde. Wij kennen deze stelling als de stelling van Pythagoras. Maar deze stelling was al gekend bij de Soemeriërs en de Egyptenaren, lang voor Pythagoras.

Er zijn in feite heel  veel verschillende bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Ook werden deze over heel de wereld ontworpen, van Azië tot Amerika. Er was er zelfs één van de Amerikaanse president, J. A. Garfield. We geven een kleine selectie:

Het oudste bewijs dat we hebben gevonden situeren we ergens tussen 1200 v.C. – 100v.C. in een oud Chinese leerboek Chou-Pei Suan Ching.

De zijde van het grote vierkant is a + b en de oppervlakte dus (a+b)^2. Hierbij zijn a en b de zijden van de rechthoekige driehoeken die getekend staan tussen het grote vierkant en het kleine vierkant. De zijde van het middelste vierkant is c. De oppervlakte van het grote vierkant is de som  van  de oppervlakten van de 4 rechthoeken en de oppervlakte van het kleine vierkant: (a+b)^2=4. \frac{ab}{2}+c^2. Hieruit volgt dan de stelling van Pythagoras.

Het bewijs van president Garfield steunt op de oppervlakte van een trapezium

De oppervlakte van het trapezium is gelijk aan de som van de oppervlakten van de drie driehoeken, dus (a+b).\frac{a+b}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}. Uitrekenen geeft ….de stelling van Pythagoras!

 

Een recenter bewijs komt van Xiaolin Zhong, professor aan het UCLA:

Draai de driehoeken ABH en BCD naar de driehoeken HGF en FED; Je ziet hier 4 keer die driehoek ‘rond’ het binnenste vierkant en 2 keer in dat binnenste vierkant. Het grootste vierkant heeft  een zijde van a + b en een oppervlakte gelijk aan (a+b)^2 en bestaat uit 4 rechthoeken en een vierkant met zijde EG. Het vierkant FDCH heeft oppervlakte c^2 en bestaat uit 4 driehoeken (die 2 rechthoeken vormen) en dat vierkant met zijde EG. Hieruit kan je het gewenste resultaat afleiden.

 

Waar ligt de horizon

Als we kijken naar de horizon, volgt onze blik een richting die raakt aan de aardbol.

De raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt. De afstand A van ons oog naar de horizon is dus gemakkelijk te berekenen via de stelling van Pythagoras: A^2=(R+h)^2-R^2. Hieruit volgt dat : 

    \[A=\sqrt{h^2+2Rh}\]

De aardstraal is ongeveer 6371 km. Omdat de ooghoogte h verwaarloosbaar is ten opzichte van R, kunnen we volgende benadering geven:

    \[A\approx 112,88 \sqrt{h}\]

Voor h=1,75m vinden we A=4,7 km.

Pythagorese drietallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat

    \[a^2+b^2=c^2\]

Deze afbeelding heeft een leeg alt-attribuut; de bestandsnaam is pyt1.png

Zo zijn (3,4,5) en (5,12,13) allebei Pytagorese drietallen.
Het is duidelijk dat als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dat dan ook (ad,bd,cd) een Pythagorees drietal is. Oplossingen van a^2+b^2=c^2 die relatief ondeelbaar zijn, noemen we primitieve Pythagorese drietallen. Hiervoor kennen we volgend resultaat:


Als m en n relatief ondeelbare postieve gehele getallen zijn met m>n en waarbij één ervan even is en de andere oneven, dan vormen  a=m^2-n^2, b=2mn en c=m^2+n^2 een primieteve oplossing van a^2+b^2=c^2. Bovendien geldt dat elke primitief Pythagorees drietal van die vorm moet zijn, op een mogelijke permutatie van a en b na.

Opgave 6

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt :
Antwoord Klik hier

Bevriende getallen

 

Een voorbeeld  van een combinatie  van de getalmystiek van Pythagoras met harde wiskunde, zijn de  bevriende getallen.

De Pythagoreeërs hechtten veel waarde aan vriendschap. Pythagoras zou volgens een latere schrijver gezegd hebben: “Wat is een vriend? Een ander ik, zoals gesymboliseerd wordt door de getallen 220 en 284” .

delers van 220 zijn(behalve 220 zelf) : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110

de som van de delers van 220: 1+2+4+5+10+11+20+44+55+110=284

delers van 284 zijn (behalve 284 zelf) : 1, 2, 4, 71, 142

De som van de delers van 284: 1+2+4+71+142=220

De vraag rijst of er nog meer paren bevriende getallen dan het paar 220, 284 dat in de oudheid bekend was. In de negende eeuw vond een Arabisch wiskundige een formule voor bevriende getallen, en met behulp daarvan een tweede paar 17296, 18416. Het volgende paar 9.363.584, 9.437.056 werd in Perzië gevonden omstreeks 1600. Tegenwoordig zijn er zo’n 50.000 paren bevriende getallen bekend.

In diverse Arabische teksten wordt een magische toepassing hiervan beschreven. Als je een goede relatie met iemand wil opbouwen, moet je een stukje papier nemen en daarop de getallen 220 en 284 schrijven. Daarna moest je dat in twee stukken scheuren, het ene stuk met het ene getal zelf opeten, en het andere heimelijk door het voedsel van die ander doen zodat hij of zij het andere getal naar binnen krijgt zonder het zelf te weten. Dit zal een positief effect hebben op de relatie. Het effect wordt volgens sommige auteurs nog sterker als je de getallen opschrijft op het moment dat Venus aan de oostelijke horizon opgaat, of een gunstig aspect maakt met de maan.

bevriende getallen