Wiskunde is leuk

Sangaku 11

Geplaatst op 29 december 2022 door admin

Antwoord

De bedoeling is de oppervlakte van het vierkant te bepalen.
De horizontale rechthoekzijde van de rode driehoek is gelijk aan $\sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}$ . De andere rechthoekszijde meet $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ en is dus dubbel zo groot als de horizontale rechthoekzijde.
De zwarte driehoek is gelijkvormig met de rode en omdat de verticale rechthoekzijde gelijk is aan $\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}=6\sqrt{3}$ , moet de horizontale rechthoekzijde gelijk zijn aan de helft ervan , dus $3\sqrt{3}$ .
Volgens de stelling van Pythagoras is het kwadraat van de zijde van het vierkant dan gelijk aan $(6\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=135$
De gevraagde oppervlakte is dus 135.

Nootje 30

Geplaatst op 4 november 2022 door admin

Bereken $|AB|$ :

“Antwoord”

Construeer vanuit het middelpunt van de kleine cirkel een loodlijn op de straal uit A in de grote cirkel. AB staat , als gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels, loodrecht op de stralen in A en B.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dan: $|AB|=x=\sqrt{(28+18)^2-10^2}=12\sqrt{14}$ .

Sangaku 9

Geplaatst op 17 juli 2022 door admin

Spoiler

We zoeken de verhouding tussen de rode en blauwe oppervlakte.

Noem de straal van de rode cirkels r en die van de blauwe cirkel r’.
De schuine zijde van de getekende rechthoekige driehoek kan je berekenen via de stelling van Pythagoras: $\sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r$ .
Maar dan is $2r+2r'=2\sqrt{2}r$ . Of $r'=r(\sqrt{2}-1)$ .
De gezochte verhouding is dan $\frac{3\pi r^2}{\pi r^2(\sqrt{2}-1)^2}=9+6\sqrt{2}$ .

Sangaku 8

Geplaatst op 11 februari 2022 door admin

Antwoord

De opdracht kan zijn de straal te berekenen van de kleine cirkels.
Noem r de straal van een kleine cirkel
Gebruik van Pythagoras geeft : r=1 of $r=\frac{1}{9}$
r = 1 kan natuurlijk niet, dus de straal van de kleine cirkel is $r=\frac{1}{9}$

Sangaku 7

Geplaatst op 28 januari 2022 door admin

Antwoord

De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :
$(x+8)^2=8^2+(x-8)^2$
Hieruit volgt dat x = 2.
De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.