Nootje 24

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

 

 

  • Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
  • We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
  • Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
  • Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
  • Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
  • De driehoek ZOI heeft als basis |ZI|=2 en als hoogte h=9-6=3. De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

 

Een meetkundige parel

Onlangs vond ik volgende stelling die ik helemaal niet kende. Een echt pareltje: De spiegelbeelden van het hoogtepunt van een driehoek ABC rond de zijden en rond de middens van de zijden liggen op de omgeschreven cirkel van ABC.

H’ is het spiegelbeeld van H (hoogtepunt) rond de zijde AB en CD is een middellijn van de omgeschreven cirkel.

  • \widehat{CDB} is een rechte hoek, als omtrekshoek op een halve cirkel. Omdat AH loodrecht op BC staat, zijn BD en AH evenwijdig.
  • Analoog is AD ook evenwijdig met BH.
  • Dus is AHBD een parallellogram. 
  • Omdat de diagonalen van een parallellogram elkaar midden doordelen is M_c het midden van AB en dus is D inderdaad het spiegelbeeld van H bij een puntspiegeling rond het midden van B.
  • Omdat HC’=C’H’ is C'M_c de middenparallel van driehoek HH’D en staat DH’ loodrecht op CC’ omdat DH’ evenwijdig is met C'M_c.
  • Dus is \widehat{CH'D}=90^\circ  en wegens de eigenschappen van omtrekshoeken ligt dus H’ op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

De ongelijkheid van Euler

Eén van de oudste ongelijkheden in een driehoek is de ongelijkheid van Euler die een verband geeft tussen de stralen van de omgeschreven en ingeschreven cirkel.

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan d=|OI|. Dan geldt er:

    \[d^2=R^2-2Rr\]

Hieruit volgt dan dat

    \[R\geq 2r\]

Het gelijkheidsteken geldt enkel als de driehoek gelijkzijdig is.