benaderen van integralen | Wiskunde is leuk

Voor heel wat praktische problemen moet men een bepaalde integraal $\int_a^b f(x)\ dx$ oplossen. De meest wiskundige manier is op zoek gaan naar een primitieve functie F(x) van f(x) en dan is $\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)$ . Maar soms is het berekenen van een primitieve functie een zeer lastige of onmogelijke taak. Is het in die gevallen dan onmogelijk om de bepaalde integraal te berekenen?

Thomas Simpson heeft een regel neergeschreven om $\int_a^b f(x)\ dx$ te benaderen:

Verdeel $[a,b]$ in een even ,n , aantal stukken en stel $h=\frac{b-a}{n}$ .
Bereken de functie waarden $f(a),f(a+h),f(a+2h),...,f(a+nh)=f(b)$ .
Nu is $\int_a^b f(x)\ dx \approx \frac{h}{3}\Big [ f(a)+f(b)+4\Big(f(a+h)+f(a+3h)+\cdots+f(a+(n-1)h\Big)+2\Big(f(a+2h)+f(a+4h)+\cdots+f(a+(n-2)h)\Big)\Big]$

Simson bekwam zijn formule door de bepaalde integraal te interpreteren als een oppervlakte en het gebied onder de grafiek van $y=f(x)$ over $[a,b]$ te benaderen door de oppervlakte onder een parabool door de punten $(a,f(a))$ , $((m,f(m))$ en $(b,f(b))$ .