Waar ligt de horizon

Als we kijken naar de horizon, volgt onze blik een richting die raakt aan de aardbol.

De raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt. De afstand A van ons oog naar de horizon is dus gemakkelijk te berekenen via de stelling van Pythagoras: A^2=(R+h)^2-R^2. Hieruit volgt dat : 

    \[A=\sqrt{h^2+2Rh}\]

De aardstraal is ongeveer 6371 km. Omdat de ooghoogte h verwaarloosbaar is ten opzichte van R, kunnen we volgende benadering geven:

    \[A\approx 112,88 \sqrt{h}\]

Voor h=1,75m vinden we A=4,7 km.

Pythagorese drietallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat

    \[a^2+b^2=c^2\]

Deze afbeelding heeft een leeg alt-attribuut; de bestandsnaam is pyt1.png

Zo zijn (3,4,5) en (5,12,13) allebei Pytagorese drietallen.
Het is duidelijk dat als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dat dan ook (ad,bd,cd) een Pythagorees drietal is. Oplossingen van a^2+b^2=c^2 die relatief ondeelbaar zijn, noemen we primitieve Pythagorese drietallen. Hiervoor kennen we volgend resultaat:


Als m en n relatief ondeelbare postieve gehele getallen zijn met m>n en waarbij één ervan even is en de andere oneven, dan vormen  a=m^2-n^2, b=2mn en c=m^2+n^2 een primieteve oplossing van a^2+b^2=c^2. Bovendien geldt dat elke primitief Pythagorees drietal van die vorm moet zijn, op een mogelijke permutatie van a en b na.