Gokken bij meerkeuzevragen

Neem een test met 10 meerkeuzevragen, met vier alternatieven bij elke vraag. Bij een goed antwoord krijg je drie punten, voor een blanco nul punten en voor een fout antwoord gaat er een punt af. Veronderstel dat je van vier vragen het antwoord weet, dan moet je op een aantal van de overige vragen gokken om toch kans te maken om te slagen. Wat is dan je beste strategie?

Het maximum aantal punten dat kan toegekend worden is 30 en slagen betekent dus minstens 15 punten scoren. We noteren met b het aantal vragen dat je blanco laat, met g = 10 – 4 – b = 6 – b het aantal vragen waarop je gokt en met f het aantal vragen dat je fout gegokt hebt. je eindscore bedraagt dan:

    \[3.(10-b-f)+(-1)f=30-3b-4f\]

We berekenen naargelang het aantal vragen dat je gokt de kans op slagen:

  1. Veronderstel g = 1, dan is b = 5 en je eindscore is 15 – 4f en dit moet minstens 15 zijn. Hieruit volgt dat f nul moet zijn.  Je slaagkans is dus de kans op geen fout antwoord als je 1 keer gokt en dat is \frac{1}{4} of 25%.
  2. Veronderstel g = 2, dan is b = 4 en je voor je eindscore geldt 18 - 4f \geq 15. Ook hier moet dus f = 0. De slaagkans is de kans op 0 fouten bij twee keer gokken en dat is \Big(\frac{1}{4}\Big)^2 en dat is 6,25%.
  3. Veronderstel g = 3, dan is b = 3 en je voor je eindscore geldt 21 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 of f = 1.  De slaagkans is \Big(\frac{1}{4}\Big)^3+3\Big(\frac{1}{4}\Big)^2.\frac{3}{4}=0,15625 of 15,625%. Dit kan ook berekend worden via Binomcdf(3,\frac{3}{4},1).
  4. Veronderstel g = 4, dan is b = 2 en je voor je eindscore geldt 24 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 , f = 1 of f = 2. De slaagkans bedraagt Binomcdf(4,\frac{3}{4},2) =0,26171875 of 26,17%.
  5. Veronderstel g = 5, dan is b = 1 en je voor je eindscore geldt 27 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 , f = 1 ,f = 2 of f = 3. De slaagkans bedraagt Binomcdf(5,\frac{3}{4},3) =0,3671875of 36,72%.
  6. Veronderstel g = 6, dan is b = 0 en je voor je eindscore geldt 30 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 , f = 1 ,f = 2 of f = 3. De slaagkans bedraagt Binomcdf(6,\frac{3}{4},3) =0,16943 of 16,94%.

De beste strategie is één vraag blanco te laten en 5 keer te gokken. Dan heb je 36,72% kans om te slagen.

Lucifers rapen

Men legt drie hopen  voorwerpen op tafel. Er zijn twee spelers. Iedere speler moet om de beurt in één hoop ten minste 1 en ten hoogste alle voorwerpen wegnemen. Wie het laatste voorwerp opraapt wint. Bestaat er een mogelijke winststrategie?

Antwoord

  1. We gaan op zoek naar winstposities. Nu  zijn (0,0,0) en (1,1,0)  duidelijk winstposities. De combinaties (1,1,1) en (2,1,0) zijn verliessituaties, want de tegenstrever kan door 1 voorwerp weg te nemen steeds in een winstsituatie komen.
  2. Het idee groeit dat een binaire notatie ons kan helpen.  Vanaf nu wordt alles dus binair genoteerd!
  3. Dus (10,1,0) , maar ook (10,1,1) zijn verliessituaties. Maar (10,10,0) en is een winstsituatie, want als de tegenstrever de hele eerst hoop weghaalt, doe jij dat met de tweede hoop en win je dus. Neemt de andere speler slechts 1 voorwerp weg van de eerste hoop, doe jij dat ook bij de tweede hoop en kom je terecht bij (1,1,0) en dat is een winstsituatie.
  4. We vermoeden dat het totaal aantal enen op elke positie steeds even moet zijn voor een winstsituatie. Bij (10,10,0) heb je 0 enen op de laatste positie en 2 enen op de eerste positie. Dus dat zal een winstsituatie zijn.
  5. De speler die het eerst ervoor kan zorgen dat het totaal aantal enen op elke positie even is, zal ( als hij of zij maximaal speelt) steeds winnen. immers: als het aantal enen op elke positie even is, dan zal bij het wegnemen van een aantal voorwerpen, ten minste één cijfer 1 in een nul veranderen en dus zal de pariteit van die positie veranderen, zodat niet op elke positie het totaal aantal enen nog even is. Als omgekeerd bij bepaalde posities het aantal enen oneven is kan je steeds ervoor zorgen dat door het wegnemen van een aantal voorwerpen de pariteit op elke positie terug even is.

Het spel (of varianten daarvan) werd vermoedelijk al duizenden jaren gespeeld in het Verre Oosten. Het werd onder de naam Nim voor het eerst beschreven in 1901 door C. L. Bouton van de Harvard-universiteit, die ook de volledige theorie van het spel ontwikkelde. De naam komt wellicht van het Duitse woord nimm! hetgeen “neem!” betekent.

Het spel kan uiteraard, met dezelfde strategie, ook gespeeld worden met meer dan drie hopen.