Een cijferraadsel

Als a679b een getal is van 5 cijfers en bovendien deelbaar is door 72, bepaal dan a en b.

Dit is een eenvoudig voorbeeld van een cijferraadsel. De onbekenden a en b stellen cijfers voor: 0 , …, 9. In dit raadsel is er een voorwaarde over deelbaarheid gegeven om het probleem te kunnen oplossen.

  • Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers deelbaar zijn door 8, dus moet 79b deelbaar zijn door 8. de enige oplossi,ng is b = 2.
  • Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9, dus als a +6 +7 +9 +2 deelbaar is door 9.
  • Dus moet a + 6 een veelvoud zijn van 9. dan is a = 3 de unieke oplossing.
  • Besluit a = 3 en b = 2.
  • Controle 36792 = 72 . 511

Opgave 27

Uit {1,2,…,n} worden 4 opeenvolgende even getallen verwijderd. De overgebleven getallen hebben een gemiddelde van 51+ 9/16. Bepaal alle viertallen opeenvolgende even getallen die hieraan voldoen.
Antwoord Klik hier

Deelbaarheid door 3, 7, 9 en 11

Iedereen weet dat een getal deelbaar is door 2 als het laatste cijfer, in zijn decimale notatie, even is.  Want een getal n kan je schrijven als n=10k+u, waarbij u het laatste cijfer is in de decimale notatie van n. Het is duidelijk dat 2|n als en slechts als 2|u. Hetzelfde geldt voor 5.

Elk getal n  is te schrijven  als n=100k+u, waarbij u het getal is gevormd door de laatste 2 cijfers van n. Bijgevolg is n deelbaar door 4 of 25 als de laatste 2 cijferss deelbaar zijn door 4 of 25.

Hoe kunnen we nu zien of een getal deelbaar is door 3, 9 of 11? Bekijken we eerst een stelling over congruenties met veeltermen met gehele cëfficiënten:

Stel f(x)=\sum_{k=0}^nc_kx^k met c_i \in \mathbb{Z}. Als a \equiv b mod m, dan is f(a) \equiv f(b) mod m.

Neem nu a=\sum_{k=0}^na_k10^k, de decimale schrijfwijze van het getal a en noteer s=\sum_{k=0}^na_k en t=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k. Het is duidelijk dat a=f(10) met f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k en dat s=f(1). Omdat 10 \equiv 1 mod 9, geldt volgens vorige stelling dat f(10) \equiv f(1) mod 9 of met andere woorden : een getal is deelbaar door 9 als de som van haar cijfers deelbaar is door 9. Analoog voor deelbaarheid door 3. Het bewijs voor deelbaarheid door 11 volgt uit het feit dat 10 \equiv -1 mod 11 en t=f(-1).

Besluit:
Een getal is deelbaar door 3 of 9 als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3 of 9.
Een getal is deelbaar door 11 als t=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k deelbaar is door 11.

 

Een toemaatje : deelbaarheid door 7: Omdat 10^3 \equiv -1 mod 7 kan je  deelbaarheid door 7 als volgt vinden: Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van 3. Voor zie elk groepje alternerend met een + en – teken. Een getal is deelbaar door 7 las de som van die getallen deelbaar is door 7. Zo is bijvoorbeeld  2 345 678 902 deelbaar door 7 omdat 902 -678 + 345 – 2 = 567 en dat is deelbaar door 7 .