Tag archieven: rakende cirkels

Sangaku 9

Geplaatst op door

Spoiler

We zoeken de verhouding tussen de rode en blauwe oppervlakte.

  • Noem de straal van de rode cirkels r en die van de blauwe cirkel r’.
  • De schuine zijde van de getekende rechthoekige driehoek kan je berekenen via de stelling van Pythagoras: \sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r.
  • Maar dan is 2r+2r'=2\sqrt{2}r. Of r'=r(\sqrt{2}-1).
  • De gezochte verhouding is dan \frac{3\pi r^2}{\pi r^2(\sqrt{2}-1)^2}=9+6\sqrt{2}.

 

 

 

De stelling van Casey

Geplaatst op door

Volgende stelling komt van de hand van de Ierse wiskundige Casey   (1820-1891)

Gegeven is een cirkel, met middelpunt O en 4 niet snijdende cirkels, met middelpunten A,B,C en D) binnen die cirkel die in volgorde raken aan de grote cirkel. Noteer met aub,c,d,x en y hun gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen. dan geldt:

    \[ac+bd=xy\]

Als we de 4 binnenste cirkels laten ‘ontaarden’ in 4 punten, krijgen we de stelling van Ptolemaeus. Andere varianten bestaan er in slechts enkele cirkels te laten krimpen tot punten. Het omgekeerde resultaat is eveneens geldig.

De stelling klopt trouwens ook als de 4 kleine cirkels aan de buitenkant liggen van de gegeven cirkel.

Dit artikel is het 500ste op deze website. Bedankt aan alle lezers.

Sangaku 3

Geplaatst op door

Antwoord

  • We zien hier 3 cirkels die elkaar uitwendig raken en die alle 3 eenzelfde rechte raken. We zoeken een verband tussen de stralen. Noem die, van links naar rechts, r_1,r_2 en r_3.
  • Bij twee dergelijke cirkels zien we dat

        \[|xy|^2=(r+s)^2-(r-s)^2=4rs\]

  • We kunnen dit 3 keer toepassen in de gegeven sangaku: de twee linkse cirkels, de twee rechtse cirkels en de meest linkse met de meest rechtse. Zo vinden we \sqrt{r_1r_3}=\sqrt{r_1r_2}+\sqrt{r_2r_3}
  • Na deling van beide leden door \sqrt{r_1r_2r_3}, vinden we:

        \[\frac{1}{\sqrt{r_2}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_3}}\]