Wiskunde is leuk

Nootje 38

Geplaatst op 13 juni 2023 door admin

Antwoord

Onderverdelen in driehoeken lijkt een goed idee:
De gelijkheid van oppervlaktes is evident: zelfde hoogte en even grote basis.
De vierhoek linksboven heeft oppervlakte 20 en is dus gelijk aan $16-x+32-y$ .
Hieruit volgt $x+y=28$ .
De oppervlakte van de vierhoek rechts onder, die gevraagd wordt, is gelijk aan $x+y$ , dus de gevraagde oppervlakte is gelijk aan 28 vierkante centimeter.

Nootje 37

Geplaatst op 11 juni 2023 door admin

Antwoord

Vermoedelijk een toepassing op de stelling van Pythagoras….
Men kan gemakkelijk bewijzen dat
$|PD|^2+|PB|^2=|PA|^2+|PC|^2$
Dit resultaat wordt weleens de stelling van de Britse vlag genoemd, naar de vergelijking met de Union Jack
Voor ons probleem is dus $x^2+4=36+49$ , dus is $x=9$ .

Nootje 36

Geplaatst op 27 mei 2023 door admin

Vind alle niet complexe oplossingen van
$(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10$

Antwoord

Alles uitrekenen geeft een vierdegraadsvergelijking, die waarschijnlijk niet op te lossen is.
We gaan de factoren in het linkerlid twee per twee uitrekenen: de eerst met de laatste en de twee middelsten.
De opgave wordt dan: $(15x^2+8x+1)(60x^2+32x+1)=10$ .
We merken op dat de twee eerste termen van de tweede factor het viervoud zijn van de eerste twee termen van de eerste factor. Stel $15x^2+8x=y$
We krijgen dan $(y+1)(4y+1)=10$ of na uitwerken $4y^2+5y-9=0$ .
Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossingen 1 en $-2,25$ .
Vervangen we y terug dan verkrijgen we twee vergelijkingen van de tweede graad. De eerste $15x^2+8x-1=0$ geeft als oplossingen $\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}$ .
De tweede vergelijking wordt $15x^2+8x+2,25=0$ en deze heeft geen reële oplossingen.
De enige niet complexe oplossingen zijn dus
$\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}$

Nootje 35

Geplaatst op 19 mei 2023 door admin

Zoek een getal van 6 cijfers dat begint en eindigt met een 2 en het product is van 3 opeenvolgende even getallen.

Antwoord

Even getallen eindigen steeds op 0,2,4,6 of 8.
Het product van drie opeenvolgende even getallen eindigt dan op $0*2*4$ , $2*4*6$ , $4*6*8$ of $6*8*0$ .
Enkel de combinatie $4*6*8$ eindigt dus op een 2.
Nu is $50^3=125000$ en $60^3=216000$ .
Bijgevolg zijn de getallen: 64,66 en 68 en hun product is 287232.

Nootje 34

Geplaatst op 15 mei 2023 door admin

Bereken de som van de coëfficiënten van de veelterm P(x) als
$(10x^{34}+2x^3+5)P(x)=2023x^{2023}$

Antwoord

Het is handig te weten dat de som van de coëfficiënten van een veelterm kan berekend worden door de getalwaarde van 1 te berekenen, dus $P(1)$ .
Vullen we 1 in bij de gegeven identiteit, dan vinden we: $(10+2+5)P(1)=2023$ ;
Hieruit volgt dat $P(1)=119$
De som van de coëfficiënten van de veelterm Px) is dus 119.