Opgave 3

Bepaal het aantal oneven binomiaalgetallen in (a+b)^n.

Antwoord

  1. Een binomiaalgetal is van de vorm: \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!s!} met s=n-r.
  2. We noteren de getallen n,r en s in het binair talstelsel:

        \[n=\sum_{i=0}^hn_i.2^{h-i}\]

     

        \[r=\sum_ir_i.2^{k-i}\]

     

        \[s=\sum_i^ps_i.2^{p-i}\]

    met n_i,r_i,s_i \in \{0,1\} en n_0=1

  3. De exponent van 2 in n! is gelijk aan n-\sum n_i. De exponent van 2 in r! is gelijk aan r-\sum r_i. De exponent van 2 in s! is gelijk aan s-\sum s_i.
    Voor meer uitleg lees volgend artikel
  4. Als het binomiaalgetal oneven moet zijn, dan mag \dfrac{n!}{r!s!} geen factor 2 meer bevatten en moet dus n-\sum n_i=r-\sum r_i+s-\sum s_i.
  5. Bijgevolg is \binom{n}{r} oneven als \sum n_i=\sum r_i+\sum s_i.
  6. Het aantal oneven binomiaalgetallen komt dus overeen met het aantal keuzes van r, tussen  0 to n , waarvoor \sum n_i=\sum r_i+\sum s_i.
  7. Als n_i=0 moet  r_i=s_i=0. Er is dus 2^0=1 mogelijkheid
  8. Als n_i=1, dan heb je 2^1=2 mogelijkheden: r_i=1,s_i=0 of r_i=0,s_i=1.
  9. Noteer k=\sum_i n_i, dan zijn er dus 2^k oneven binomiaalgetallen.
  10. Er zijn dus 2^k oneven binomiaalgetallen in (a+b)^n, waarbij k gelijk is aan de som van de cijfers in de binaire schrijfwijze van n.
  11. Controleer met een voorbeeld : voor n=4 heb je als binomiaalgetallen: 1,4,6,4,1. Er zijn dus 2 oneven binomiaalgetallen. Nu is 4 = 100 in het binair talstelsel en dus is k = 1+0+0=1. Er zijn dus 2^1=2 oneven binomiaalgetallen.