Tag archieven: binomiaalgetallen

Ster van David

Geplaatst op door

Iedereen kent wel de driehoek van Pascal met de binomiaalgetallen. In die driehoek kan je mooie verbanden zien: je vindt er de natuurlijke getallen in , de driehoeksgetallen….Gekend is zeker ook de stelling van Stiefel. Minder bekend is de stelling van de Davidster:

In de tekening hierboven zijn de rijen van de driehoek van Pascal als kolommen weergegeven. De  grootste gemene delers van de getallen op de hoekpunten van de gegeven driehoeken zijn gelijk: De grootste gemene deler van \binom{n-1}{k-1},\binom{n}{k+1},\binom{n+1}{k} is gelijk aan de grootste gemene deler van \binom{n-1}{k-},\binom{n}{k-1},\binom{n+1}{k+1} . Dit verband werd in 1972 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige Henry Gould.

Bovendien geldt er dat het product van de getallen op de hoekpunten van de driehoeken gelijk is

Een voorbeeld:

 

Kwadraten in de driehoek van Pascal

Geplaatst op door

In de driehoek van Pascal kan je veel verbanden vinden. Vandaag gaan we op zoek naar kwadraten.

  • Kijk naar de derde kolom van de driehoeksgetallen 1,3,6,10,… en tel daar de elementen twee per twee op en je vindt de rij 4,9,16,25,… Hoe kan je dit verklaren?  De som van de elementen is altijd van de vorm

        \[\binom{n}{2}+\binom{n+1}{2}\]


    Uitrekenen geeft \frac{1}{2}n(n-1)+\frac{1}{2}n(n+1)=n^2.
  • Kijk naar de vierde kolom 1,4,10,20,35,56,…en bereken het verschil van de derde en de eerste, de vierde en de tweede enz. , dan vorm je de rij 9,16,25,… Verklaring?

        \[\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}\]

    Uitrekenen met de formule van Stiffel geeft: \Big(\binom{n+2}{3}-\binom{n+1}{3}\Big)+\Big(\binom{n+1}{3}-\binom{n}{3}\Big)=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=n^2.

Formules met binomiaalgetallen

Geplaatst op door

Het binomiaalgetal \binom{n}{p} berekent het aantal p-combinaties van n elementen; dit is het aantal mogelijkheden om p elementen te nemen uit n beschikbare elementen. Hierbij is  herhaling niet toegestaan en speelt de volgorde van de elementen geen rol.

Als 0 \leq p \leq n, dan kennen we de formule

    \[\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}\]

Om verbanden tussen de binomiaalgetallen te bewijzen kunnen we gebruik maken van bovenstaande formule. Vaak geeft dit aanleiding tot technisch moeilijk rekenwerk. Vandaar dat we in volgende sectie een andere werkmethode willen geven, steunend op eenvoudige begrippen uit de verzamelingenleer. Lees hierover volgend artikel.

Opgave 3

Geplaatst op door

Bepaal het aantal oneven binomiaalgetallen in (a+b)^n.

Antwoord

  1. Een binomiaalgetal is van de vorm: \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!s!} met s=n-r.
  2. We noteren de getallen n,r en s in het binair talstelsel:

        \[n=\sum_{i=0}^hn_i.2^{h-i}\]

     

        \[r=\sum_ir_i.2^{k-i}\]

     

        \[s=\sum_i^ps_i.2^{p-i}\]

    met n_i,r_i,s_i \in \{0,1\} en n_0=1

  3. De exponent van 2 in n! is gelijk aan n-\sum n_i. De exponent van 2 in r! is gelijk aan r-\sum r_i. De exponent van 2 in s! is gelijk aan s-\sum s_i.
    Voor meer uitleg lees volgend artikel
  4. Als het binomiaalgetal oneven moet zijn, dan mag \dfrac{n!}{r!s!} geen factor 2 meer bevatten en moet dus n-\sum n_i=r-\sum r_i+s-\sum s_i.
  5. Bijgevolg is \binom{n}{r} oneven als \sum n_i=\sum r_i+\sum s_i.
  6. Het aantal oneven binomiaalgetallen komt dus overeen met het aantal keuzes van r, tussen  0 to n , waarvoor \sum n_i=\sum r_i+\sum s_i.
  7. Als n_i=0 moet  r_i=s_i=0. Er is dus 2^0=1 mogelijkheid
  8. Als n_i=1, dan heb je 2^1=2 mogelijkheden: r_i=1,s_i=0 of r_i=0,s_i=1.
  9. Noteer k=\sum_i n_i, dan zijn er dus 2^k oneven binomiaalgetallen.
  10. Er zijn dus 2^k oneven binomiaalgetallen in (a+b)^n, waarbij k gelijk is aan de som van de cijfers in de binaire schrijfwijze van n.
  11. Controleer met een voorbeeld : voor n=4 heb je als binomiaalgetallen: 1,4,6,4,1. Er zijn dus 2 oneven binomiaalgetallen. Nu is 4 = 100 in het binair talstelsel en dus is k = 1+0+0=1. Er zijn dus 2^1=2 oneven binomiaalgetallen.