Opgave 28

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2019 kan men construeren?

Antwoord

  • Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de twee andere zijden. Bijgevolg is de langste zijde van de gezochte driehoeken \leq 1009.
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1009, dan kunnen de andere twee zijden gelijk zijn aan : (1009,1),(1008,2),\cdots,(505,505). Er zijn dus 505 mogelijke driehoeken.
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1008, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: (1008,3),(1007,4),\cdots,(506,505). Er zijn dus 503 mogelijke driehoeken.
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1007, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: (1007,5),(1006,6),\cdots,(506,506). Er zijn dus 502 mogelijke driehoeken.
  • Daal verder af…
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 674, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: (674,671),(673,672). Er zijn dus 2 mogelijke driehoeken.
  • Tenslotte blijft er de gelijkzijdige driehoek met zijde 673 over.
  • Het totaal aantal mogelijkheden is S=505+503+502+500+\cdots+4+2+1.
  • Herschikking geeft S=505+(503+1)+(502+2)+(500+504)+\cdots. Dit geeft S=505+504 \times 168 =85177.

Opgave 8

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

    \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2\]

Antwoord

  • Omdat a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, weten we dat elke zijde kleiner is dan de som van de twee andere zijden. Dus bijvoorbeeld a<b+c
  • Dan is \frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2(b+c)}=\frac{2a}{(b+c)+(b+c)}.
  • Door toepassing van de driehoeksongelijkheid op het eerste deel van de noemer vinden we dat

        \[\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}\]

    .

  • Op analoge wijze vinden we dat \frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c} en  \frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}.
  • Alles samenvoegen geeft

        \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\]