Straal ingeschreven cirkel

Zoek een verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

De stukken van de raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel zijn even lang en bovendien is x = r.

Wanneer we a+b berekenen vinden we dat a+b=x+z+x+y=2r+c, dus geldt in een rechthoekige driehoek :

    \[a+b-c=2r\]

Kan je nu de oppervlakte van de  rechthoek ABCD berekenen?

Stelling van Ptolemaeus

De kans, dat 4 willekeurig gekozen punten in het vlak, op 1 lijn of 1 cirkel liggen is erg klein. Er moeten dus  wel speciale voorwaarden zijn om dit te doen gebeuren.  Zo een voorwaarde wordt gegeven in de stelling van Ptolemaeus:

Voor 4 willekeurige punten A,B,C en D in het vlak, geldt

    \[AB.CD+AD.BC \geq AC.BD\]

Er treedt gelijkheid op als de punten collineair of concyclisch zijn .

Enkele gevolgen:

  • Als ABCD een koordenvierhoek is en ABC een gelijkzijdige driehoek, dan is BD=AD+CD.
  • Als ABCD een koordenvierhoek is en de hoeken in B en D zijn recht, dan is BD=AC.\sin A ( schrijf de hoek A als som van twee hoeken en pas de domformule voor \sin(x+y) toe)

Hoogtedriehoek

De hoogtedriehoek van een driehoek ABC is de driehoek gevormd door de  voetpunten van de drie hoogtelijnen van deze driehoek.

Enkele speciale eigenschappen:

  • Het hoogtepunt van driehoek ABC is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van zijn hoogtedriehoek.
  • Van alle driehoeken ingeschreven in driehoek ABC(d.i de hoekpunten liggen op de zijden  van driehoek ABC) heeft de hoogtedriehoek de kleinste omtrek.
    Dit wordt ook wel eens het probleem van Fagnano genoemd naar Giovanni Fagnano die dit probleem stelde in 1775.

Middendriehoek

De middendriehoek van een driehoek ABC is de driehoek SRQ, gevormd door de middenparallellen van de gegeven driehoek. 

Enkele eigenschappen:

  • De oppervlakte van de middendriehoek is \frac{1}{4} van de oppervlakte van de gegeven driehoek.
  • De omtrek van de middendriehoek is \frac{1}{2} van de omtrek van de gegeven driehoek.
  • De middendriehoek  is gelijkvormig met de gegeven driehoek: de middendriehoek is het beeld van ABC onder een homothetie met centrum het zwaartepunt van ABC en als factor -\frac{1}{2}.
  • De middendriehoek en driehoek ABC hebben hetzelfde zwaartepunt.
  • Het hoogtepunt van de middendriehoek valt samen met het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
  • De voetpunten van de hoogtelijnen van driehoek ABC liggen op de omgeschreven cirkel van de middendriehoek.

  • De omgeschreven cirkel van de middendriehoek is de negenpuntscirkel van ABC ( de cirkel door de middens van de zijden, de voetpunten van de hoogtelijnen en de middens van de lijnsegmenten van uit de hoekpunten naar het hoogtepunt ).
  • En dan nog deze afsluiter: bedenk zelf maar de stelling!