VWO 2026 finale vraag 1

Geplaatst op 5 augustus 2026 door admin

Deze functionele vergelijking lijkt veel vrijheid te laten, maar twee eenvoudige substituties en een symmetrie dwingen de functie volledig vast. Zo kan de gevraagde waarde zonder aannames over continuïteit of differentiabiliteit worden bepaald.

Infobox

Onderwerpen: Algebra, Analyse
Probleemoplossingstechnieken: Substitutie, werk achteruit, speciale gevallen, symmetrie
Moeilijkheid: Gemiddeld
Competitie: Vlaamse Wiskunde Olympiade
Jaar: 2026
Opgavenummer: 1

Opgave

De functie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ voldoet voor alle reële getallen $x$ en $y$ aan

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+3f(y)-3.$

Wat is de getalwaarde van $f(2026)$ ?

Eerste idee

Vul eerst $y=0$ in om $f(0)$ te bepalen en neem daarna $x=0$ om $f(y)$ met $f(-y)$ te verbinden. De beslissende symmetrie verschijnt wanneer de vergelijking voor $y$ en $-y$ wordt vergeleken: de linkerleden zijn identiek, zodat ook de rechterleden gelijk moeten zijn.

Uitwerking

We schrijven de gegeven vergelijking kort als

$P(x,y):\quad f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+3f(y)-3.$

We bepalen $f(0)$ door $y=0$ te nemen.

Als $y=0$ , dan wordt

$f(x)+f(x)=2f(x)+3f(0)-3.$

Dus

$2f(x)=2f(x)+3f(0)-3,$

en daarom

$3f(0)-3=0,\qquad f(0)=1.$

Vervolgens nemen we $x=0$ . Dan krijgen we

$f(y)+f(-y)=2f(0)+3f(y)-3.$

Omdat $f(0)=1$ , volgt

$f(y)+f(-y)=2+3f(y)-3=3f(y)-1,$

en dus

$f(-y)=2f(y)-1.$

Nu vergelijken we de vergelijking voor $(x,y)$ en $(x,-y)$ . De linkerkant verandert niet, omdat

$(x+y,\,x-y)\quad\text{en}\quad (x-y,\,x+y)$

in omgekeerde volgorde voorkomen. Precisie:

$P(x,y):\quad f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+3f(y)-3,$

$P(x,-y):\quad f(x-y)+f(x+y)=2f(x)+3f(-y)-3.$

Omdat de linkerleden gelijk zijn, moeten ook de rechterleden gelijk zijn. Daarom geldt

$2f(x)+3f(y)-3=2f(x)+3f(-y)-3,$

en dus

$3f(y)=3f(-y),\qquad f(y)=f(-y).$

Samen met

$f(-y)=2f(y)-1$

volgt

$f(y)=2f(y)-1.$

Daaruit volgt

$f(y)=1$

voor alle reële getallen $y$ .

In het bijzonder is

$f(2026)=1.$

Dus de gevraagde waarde is

$\boxed{1}.$

Probleemoplossingstechnieken

Substitutie: Laat eenvoudige waarden van $x$ of $y$ zien, waardoor $f(0)$ en relaties tussen waarden direct volgen.
Werk achteruit: Helpt om vanuit de gevraagde waarde terug te redeneren naar een eenvoudige structuur.
Speciale gevallen: Vereenvoudigt de vergelijking sterk.
Symmetrie: Maakt het mogelijk om $y$ en $-y$ te vergelijken.

Bron

Zuid-Afrikaanse wiskundeolympiade

Geplaatst op 28 augustus 2019 door admin

In Zuid-Afrika is men zich bewust dat de welvaart van Zuid-Afrika mede bepaald wordt door hoog gekwalificeerd wiskunde personeel. Twee organisaties SAMS ( South African Mathematical Society) en Amesa (Association for Mathematics Education of South Africa) besloten hun krachten te bundelen op het gebied van wiskunde ontwikkeling en onderwijs. Zo werd in 2004 de SAMF (South African Mathematical Foundation) opgericht. Het kantoor wordt aangedreven door een uitstekend team van professionals die samenwerken met de overheid, scholen en andere belanghebbenden om het wiskundeonderwijs in Zuid-Afrika te verbeteren. Op hun website vindt je info over de Zuid-Afrikaans wiskunde olympiade en andere competities of trainingsmateriaal.

Oekrainse Wiskunde Olympiade

Geplaatst op 18 september 2018 door admin

De eerst wiskunde olympiade werd gehouden in 1951, toen Ukraine nog deel uitmaakte van de Sovjet-Unie. Nu wordt de finale gehouden in de vroege lente voor studenten van de 8 ste graad (13-14 jaar) tot de 11de graad (16-17 jaar). De competitie duurt twee dagen en de 8ste graads studenten krijgen 6 vragen, al de anderen krijgen 8 vragen. Voorbeeld vragen vind je op de website van AOPS of Imo compendium

Zweedse Wiskunde olympiade

Geplaatst op 23 maart 2018 door admin

De Zweedse wiskunde olympiade ( Svenska matematiska olympiaden) is een wedstrijd voor middelbare scholieren, die jaarlijks gehouden wrodt door de Zweedse Mathematical Society (SMS) sinds 1961. Ze mikt vooral op de probleemoplossende vaardigheden van de studenten.

De Swedish Mathematical Society (SMS) is een non-profit organisatie die werkt aan het bevorderen van wiskunde. Ze werd opgericht in 1950 en heeft ongeveer 500 leden. De voornaamste activiteiten zijn de verdeling van de prijs Wallenberg aan prominente jongere wiskundigen, toekenning van beurzen aan jonge onderzoekers, en het organiseren van de wiskunde olympiade.

De wedstrijd verloopt zowel individueel als in teams. De individuele competitie bestaat uit twee delen, een kwalificatie wedstrijd in de scholen eind september en een finale voor de 20 beste van de kwalificatieronde. De finale vindt plaats op het einde van november. Elke school met ten minste drie deelnemers zal automatisch worden opgenomen in de een wedstrijd voor teams. De som van de drie beste individuele resultaten wordt gemaakt en de vijf beste teams worden uitgenodigd voor een finale: SMT Lagfinal “Pythagoreïsche enigma”. De eerste Zweedse Wiskunde Olympiade vond plaats in 1961.

Meer info vindt je op hun website, deze is wel enkel inhet Zweeds. De opgaven van de finales, in het Engels kan je ook hier terugvinden.

Ierse wiskunde olympiade

Geplaatst op 12 november 2017 door admin

De Ierse wiskunde olympiade ( IrMO) ios een nationale competitie voor middelbare school leerlingen. je kan er voor trainen op de mathematics enrichment centres ( NUI Galway, Maynoot University, University college Cork, University college Dublin, University of Limerick). Ze werd voor het eerst gehouden in 1988.

Het primaire doel van de verrijkingscursussen is om een liefde en waardering voor wiskunde te ontwikkelen onder getalenteerde studenten – dit wordt bereikt door dergelijke studenten bloot te stellen aan diepere, meer uitdagende en interessantere wiskundige problemen dan die worden aangetroffen in de school-syllabus.

De resultaten worden gebruikt om het team van 6 studenten samen te stellen voor de IMO. Meer informatie kan je vinden op hun website.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: wiskunde olympiade